A hajtogatott normális eloszlásból vett mintavétel egyenértékű-e a normális eloszlásból vett mintával, ha 0-nál csonkolt?

Igen, a a megközelítések ugyanazokat az eredményeket adják a nulla-átlag normál eloszlás esetén.

Elég ellenőrizni, hogy a valószínűségek megegyeznek az intervallumokban, mert ezek generálják az összes (Lebesgue) mérhető halmaz sigma algebráját. Legyen $ \ Phi $ a normál normál sűrűség: $ \ Phi ((a, b]) $ megadja annak a valószínűségét, hogy egy normál normális variáns a $ (a, b] $ intervallumban fekszik. Ezután $ 0 \ le a \ le b $, a csonka valószínűség

$$ \ Phi _ {\ text {csonkított}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) / \ Phi ([0, \ infty]) = 2 \ Phi ((a, b]) $$

(mert $ \ Phi ([0, \ infty]) = 1/2 $) és a hajtogatott valószínűség

$$ \ Phi _ {\ text {hajtogatott}} ((a, b]) = \ Phi ((a, b]) + \ Phi ([- b, -a)) = 2 \ Phi ( (a, b]) $$

a $ \ Phi $ körülbelül $ 0 $ szimmetriája miatt.

Ez az elemzés érvényes a bármilyen disztribúcióra szimmetrikus kb. $ 0 $ és nulla a valószínűsége, hogy $ 0 $ lesz. Ha az átlag nem nulla , akkor az eloszlás nem szimmetrikus, és a két megközelítés nem nem ugyanazt az eredményt adja, mint ugyanazok a számítások mutatják.

Ez a grafikon a valószínűségi sűrűség függvényeit mutatja egy normál (1,1) eloszlás (sárga), egy hajtogatott Normál (1,1) eloszlás (piros) és csonka Normal (1,1) eloszlás (kék). Vegye figyelembe, hogy az összehajtott eloszlás hogyan nem osztja meg a jellegzetes haranggörbe alakot a másik kettővel. A kék görbe (csonka eloszlás) a sárga görbe pozitív része, fel van méretezve, hogy egységnyi területe legyen, míg a piros görbe (hajtogatott eloszlás) a sárga görbe pozitív részének és negatív farkajának összege (amint azt a az y tengely).

Megjegyzések

• Tetszik a kép.

Legyen $ X \ sim N (\ mu = 1, SD = 1) $. A $ X | X > 0 $ eloszlása határozottan nem azonos a $ | X | $ -val.

Gyors teszt R:

x <- rnorm(10000, 1, 1) par(mfrow=c(2,1)) hist(abs(x), breaks=100) hist(x[x > 0], breaks=100) 

Ez a következőket adja.