Mi a hullámegyenlet legáltalánosabb alakja? Ez $ $ frac {\ részleges ^ 2 \ Psi} {\ részleges t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Például: $ \ frac {\ részleges ^ 2 \ Psi} {\ részleges t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ legyen hullámegyenlet? Ha igen, mi a megoldás ebben az esetben.
Válasz
Nem tudom, mit értesz $ cte $ , de feltételezem, hogy állandó, de lehet, hogy félreértelmezem
Gyakran a differenciálegyenlet két osztályáról beszélünk: homogén és inhomogén. Ez a megkülönböztetés a kérdés gyökere, \ begin {egyenlet } \ frac {1} {v ^ 2} (\ részleges_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ vég {egyenlet} a hullámegyenlet homogén alakja, míg \ begin {egyenlet} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {egyenlet} az inhomogén hullámegyenlet ($ u (\ vec {r}, t) $ is lehet állandó, ha úgy tetszik). Ez felmerül Az egyik példa az, hogy az elektromágneses sugárzást töltések és áramok jelenlétében az inhomogén hullámegyenlet szabályozza, a homogén forma csak akkor érvényes, ha $ \ rho = 0 $ és $ \ vec {J} = 0 $. Attól függően, hogy kit kérdezel, szerintem a legtöbb ember mégis az inhom-ot mondaná Az ogén hullámegyenlet egy hullámegyenlet, de ez “ízlésnek felel meg, mivel” a megoldásai nagyon más karakterűek lehetnek, mint a homogének.
Általában nem sokat tudok mondani ezekről a megoldásokról, mivel “nagymértékben függenek a $ u $ formájától, bár biztos vagyok benne, hogy néhány googlelés rengeteg példát fog adni.
Megjegyzések
- Tökéletes. És mi van a csillapított hullámegyenlettel? Milyen formája van?
Válasz
Mason kezelte az inhomogén és a homogén differenciálegyenletek megkülönböztetését, de ha a hullámegyenlet lehető legáltalánosabb formájáról beszél, ez:
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
ahol mindkét mező $ (m, n) $ tenzor rangú, a Laplace-Beltrami operátor $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $, amelynek a tenzorokra gyakorolt hatása mind a metrikától, mind a rangjuktól függ. A $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ metrikával rendelkező skaláris mező esetén a hullámegyenlet legismertebb formájára redukálódik, a $ (\ részleges ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (A fentieket a differenciális formák nyelvén is át lehet dolgozni.)
Ez azonban valamilyen módon nem fedi le az összes lehetőséget. Például az általános relativitáselméletnél a metrika $ h_ {ab} $ zavara esetén a görbület első rendű változása a következő:
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ négyzet h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
amelyet az irodalom ívelt tér “hullámoperátoraként” értenek, mert minden bizonnyal elfogadja a hullámmegoldásokat, de nyilvánvalóan nem egyenértékű a fenti hullámegyenlettel, mivel tartalmazza görbületi tenzorokat tartalmazó egyéb kifejezések. Így a hullámegyenlet “legáltalánosabb alakja” nem olyasmi, amit valóban leírhatunk, hacsak az elképzelése szigorúan $ (\ részleges ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
