A ebben a válaszban Jim Clay írja:
… használja azt a tényt, hogy $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
A fenti kifejezés nem túl különbözik a $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Próbáltam a későbbi kifejezés megszerzéséhez a Fourier-transzformáció szabványdefiníciójának használatával $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $, de mind Végül egy kifejezés annyira különbözik attól, amit nyilvánvalóan válaszolok.
Itt van a munkám:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ balra (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ bal (e ^ {- j2 \ pi t \ bal (f_0 + f \ jobb)} + e ^ {- j2 \ pi t \ bal (f-f_0 \ jobb)} \ jobb) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Itt “ragadtam”.
Válasz
A munkád rendben van, kivéve azt a problémát, hogy a $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ Fourier-transzformációja nem létezik a a $ f $ függvény jének szokásos értelme, és ki kell terjesztenünk a fogalmat úgy, hogy kiterjedjen az úgynevezett disztribúciókra, impulzusokra vagy Dirac deltákra, vagy (ahogy mi mérnökök szoktunk tenni, sokat a matematikusok undor) delta függvények. Olvassa el azokat a feltételeket, amelyeknek teljesülniük kell a létező $ x (t) $ jel $ X (f) $ Fourier-transzformációja (a szokásos értelemben), és látni fogja, hogy $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nem rendelkezik Fourier-transzformációval a a szokásos értelemben.
A konkrét kérdésre térve, ha megértette, hogy az impulzusokat csak az alapján határozzák meg, hogy miként viselkednek integránsként egy integrálban, vagyis $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$, feltéve, hogy $ g (x) $ folyamatos $ x_0 $ értéken, akkor könnyebb levezetni a $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left Fourier-transzformációját . \ balra. \ frac {1} {2} \ jobbra [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ jobbra] $$ azáltal, hogy azon gondolkodik, hogy $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$, és így kell lennie, hogy $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ a $ \ displaystyle \ left. \ left inverz Fourier-transzformációja. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Válasz
Ezután csak használja a Fourier transzformációs párok tábláját , hogy lássa, hogy $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, és változó helyettesítés ($ f_1 = f + f_0 $ és $ f_2 = f-f_0 $), hogy megkapja, amire szüksége van.
Megjegyzések
- Ami természetesen felveti a kérdést, hogy az a személy, aki a táblázat felírta a táblázatban található választ.
- @DilipSarwate 🙂 Most ' sokkal, de sokkal nehezebb kérdést tesz fel. 🙂
- Nézze meg a válaszomat a sokkal nehezebb kérdésre adott válasz egyik változatáról, amely összegyűjtheti ezt a veremcserét, ha nem a math.SE-n!
- @DilipSarwate: te ' már megkapta a +1 -emet. Köszönöm, szép válasz. Egyetértett a matematikával. Az SE haverjai megdöbbentek. Ez rendben van, mi ' mérnökök vagyunk. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…