A trigonometria megtanulásának legjobb módja

A Schaum körvonalai általában nagyon praktikusak és olcsók. Jól alkalmazható egy idősebb tanuló számára. Gyakran a A válaszok a problémák után állnak, szemben a végén. És minden választ megkapsz, nem a páratlan / páros cigányt. Így alkalmas az önálló tanulásra.

Ez tetszik, összességében és a tulajdonom: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

1960-as évekből származik, tehát a nyelv nem archaikus, de nem “új”. Nem biztos abban, hogy a nyelven kívül milyen előnyöket szeretne elérni az újabb verzióktól, de ha újabbakat szeretne, akkor nemrégiben megtalálhatóak a 4. kiadásukban a College Math.

Megjegyzés: ez egy általános előkalkuláció könyv (és valószínűleg amire szüksége van). De ha csak egy triggert szeretne, akkor Schaum-nak is van ilyen. Nyilvánvalóan több trigprobléma van a trig könyvben, mint a precalc könyvben (amely minden normál középiskolai tanfolyamot lefed).

Ps könnyebben tudjon tanácsot adni neked, ha elmondta volna, milyen könyvek buktak meg. Mintha hiába írtam volna hosszú választ?

Pszs nem vagyok biztos benne, hogy a trig miért olyan akadály az emberek előtt. De azt javaslom, hogy először az egység körében gondolkodjon el a bűnről és a cos-ról, és ne a háromszögek oldalainak arányáról. Ez csak egy kicsit egyszerűbb koncepció és arány nélkül követhető.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn itt kissé bonyolultabbá teszi az arányokról való beszédet. De amikor megtudtam, a nagy előny egy legelső bevezetés volt, arányok nélkül … csak az egység kör x és y tengelye.

Megjegyzések

• Köszönöm a választ! És ‘ igazad van, meg kellett volna említenem, milyen könyveket. A 3 könyv a Trigonometry, 5. kiadás, Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies, Mary Sterling, valamint a College Trigonometry, Stitz és Zeager, 2013. I ‘ az uni-nál, amint a nyár véget ér, és i ‘ biztos vagyok benne, hogy i ‘ elég hamar megnövekszik a triggal. az átlagos idő, így az első tanfolyamomat úgy fejezem be, hogy nincs túl sok ütközés az úton.
• Győződjön meg arról, hogy rengeteg problémát kezel. Lehet, hogy úgy érzed, ” I ‘ nem értem “. De ha nagy mennyiségű problémát dolgoz fel, akkor az csak a fejébe kerül. A munkaproblémák pedig azt jelentik, hogy lefedik a választ, végigdolgozzák a problémát. A válasz ellenőrzése. A semmiből elmaradt problémák (teljesen) megismétlése (buta jelhibák esetén is). Úgy bánjon vele, mint egy sport fizikai edzésével vagy egy hangszer tanulásával. Légy szorgalmas.
• @RustyCore Csak azért, hogy egyértelmű legyek, ‘ átmegyek egy helyi főiskoláról. Amit a főiskolán végeztem, az nem kapcsolódott a matematikához, és nagyon kevés volt a matematikai követelménye, ezért az uni első matematika órám precalc volt.
• @vendég, megértem. De szerintem Rusty elbizakodott és durva volt. ‘ Teljesen tisztában vagyok azzal, hogy ennek a fokozatnak a megszerzése valószínűleg életem legnehezebb és legstresszesebb időszaka lesz, de nem akarok ‘ elzárkóznom előle csak azért, mert ‘ nehéz dolgom egy témával. A legtöbb ember abbahagyja és azt mondja, hogy ‘ csak nem matematikai emberek, ha útlezárással szembesülnek, és azonnal elzárkóznak a további matematikától vagy az alapoktól, amelyekre frissítésre szorulnak. ‘ próbálom ezt elkerülni, mert pontosan ezt tettem az előző években.
• @Lex_i, érett hallgatónak tűnsz, és rengeteg hallgatóm volt mint te, aki kiemelkedő. Remélem, hogy matematikai kalandjai örömet okoznak Önnek.

Talán vizuális megközelítés egészítheti ki tanulmányát? Számos ilyen forrás áll rendelkezésre az interneten, a tankönyvekben nem. Pl. Intuitív módon indítsa el :

---

         
          ^{Megjegyzés: a címkék azt mutatják, ahova az egyes elemek “felmennek” . ”}

---

Egy másik: Interaktív egység kör . Másik: inverz kiváltó funkciók .

megjegyzések

• it ‘ egy hasznos ábra. Hozzátennék egy nyilatkozatot arról, hogy a hasonló háromszögek fogalmát használják, az összetévesztés elkerülése érdekében.
• Úgy gondolom, hogy a diagram hasznosabb lenne, ha megmutatná a szöget és azt, hogy az összes függvény függvénye . Úgy tűnik, hogy ‘ úgy tervezték, hogy emlékezzen arra, amit már tud, és nem arra, hogy megtanulja a triggert a semmiből.
• @JessicaB: 1., ez nem az én ábrám: -). 2. van egy elbeszélés, amely vele együtt jár; nem célja egyedül állni. 3., hasznosnak tartom például látni, hogy a $ \ sin \ le \ tan $ és $ \ sec \ ge \ tan $ és $ \ tan $ korlátlanok lehetnek stb.
• @ JessicaB: PS. A szög a kör közepén lévő szög, amely kör sajnos szinte láthatatlan a pillanatképemben.
• @JosephO ‘ Rourke Tudom, hogy nem tettél ‘ t ne rajzold meg. És most már tudom, hogy a szög áll a középpontban, mert tudom, hogy trig. De amikor először találkoztam vele, nagyon összezavarodtam, mert nem vettem fel ‘ a szöget.

Én személy szerint egy olyan tankönyv ajánlást preferálnék, amelyet letölthetek vagy átvehetek, amely [lehetőleg] nem régi és nem ne tegye a trigonometria megfélemlítővé a megközelítést (különösen olyan, amely a tulajdonságok / tételek mögött álló bizonyítékok megértését hangsúlyozza).

Nincsenek tankönyveim, amelyeket ajánlani tudnék, de tudom olyan megközelítést javasol a trigonometria elvégzéséhez, amely megkönnyíti a matematikai megértést a logikus trigonometria és algebrai trigonometrikus kifejezések felépítése. Vannak trigonometrikus kifejezések szerkezete. két “szint” erre, attól függően, hogy egyenesen a komplettre akarsz menni ex számok vagy maradjon a valós trigonometria. Mindkét esetben a hangsúly a trigonometria belső magjának azonosítására és minden más erre való csökkentésére irányul.

---

Valódi trigonometria

A kulcsmennyiségek: $ \ cos (t) $ és $ \ sin (t) $ , amelyek a $ x $ és $ y $ koordinátái a $ P_t $ pontnak az egység körén, amely $ t $ hosszúságú ívet mutat be az óramutató járásával ellentétes irányba a $ x $ -tengelyről, ahogy a wikipédia :

Itt az ívhosszat az egység kör mentén mérik, és a $ π $ meghatározva van a félkör ívhosszaként, tehát $ 2π $ 360 USD ° $ . (Ezt a szögmérési módot gyakran nevezik mérésnek ” radiánban “, de én személy szerint szerintem felesleges kifejezés.) Megjegyzés hogy $ P_t = P_ {t + 2πk} $ bármely $ k $ egész számra, mert $ 2πk $ a teljes kör egész számának többszöröse lenne. Vegye figyelembe azt is, hogy a $ t $ növelése $ P_t $ az óramutató járásával ellentétes irányba mozog, miközben csökken a $ t $ $ P_t $ az óramutató járásával megegyező irányba mozog. Ehhez kapcsolódóan a $ P _ {- t} $ a $ P_t $ tükröződése a $ x $ -axis.

Ne feledje, hogy a $ \ cos (t) $ és a $ \ sin (t) $ pontosan megegyezik a $ x $ és a $ y $ koordinátái a körön lévő pontnak. (Ne hallgasson olyanokra, akik azt mondják, hogy jegyezzen be valamit, hogy megállapítsa, melyikük melyik negyedben pozitív.)

És csak definíció szerint $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ minden valós $ t $ . Ez az első kulcs algebrai tény .

Következő, $ \ tan (t) $ meghatározott mint $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Történelmileg meghatároztuk a $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ és a $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ és $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , de őszintén szólva kevés előnye van annak, ha ennyi van, ha a $ \ cos, \ sin $ önmagában elegendő.) Amikor egyszerűsíteni akar minden olyan trigonometrikus kifejezést, amely $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , valószínűleg el kell végeznie a szokásos matematikai technikáját kanonikus formában történő átírás , ami ebben az esetben azt jelenti, hogy csak $ \ cos, \ sin $ szempontból írunk át újra, míg tudomásul véve, hogy hol van megadva az eredeti kifejezés (például $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ bármely valós $ t $ csak akkor, ha a $ t $ nem több, mint a $ π $ ).

A egyéb algebrai tények a vektorokra alkalmazott rotációs mátrixok figyelembevételével merülnek fel. (Ha nem ismeri a mátrixokat, mint a vektorok operátorait, akkor először olvassa el ezt . Az euklideszi térben lévő vektorok bemutatásához lásd: itt .) Legyen $ R $ bármilyen forgatás a sík eredetével kapcsolatban. Ekkor a $ R $ három tulajdonságot elégít ki:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ bármely vektorra $ u, v $ (azaz két vektor összegzése, majd az eredmény elforgatása ugyanazt jelenti, mint a forgatás) a két vektor először összegzésük előtt).
2. Ha a $ R, S $ szögek balra forgatása $ t, u $ , majd a $ R∘S $ az óramutató járásával ellentétes irányú szögelfordulás $ t + u $ .
3. Ha a $ R $ a $ t $ , majd:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ bármely valós $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ bármely valós $ y $ .

Ezeket a tulajdonságokat axiómának (feltételezésnek) tekinthetjük a forgásokkal kapcsolatban. Végül is, ha a $ R $ nem elégíti ki őket, akkor nem neveznénk a $ R $ rotációnak kezdve. Hogy megtudja, miért, az (1) tulajdonság megragadja azt az intuíciót, hogy két összekapcsolt rúd elforgatásakor mindkét rúd elfordul a forgási szöggel, miközben megőrzi csatlakozási helyüket. A (2) tulajdonságra csak a (3) tulajdonsággal együtt van szükség. A (3a) tulajdonság a $ \ cos, \ sin $ definíciójából következik, a (3b) tulajdonság pedig ugyanabból a definícióból következik, amelyet elforgatnak $ 90 ° $ az óramutató járásával ellentétes irányba.

Az (1) és (3) tulajdonságok adják meg a 2d forgatás mátrix formáját:

Ha a $ R $ a szög $ t $ balra forgatása, akkor $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Ezután a (2) tulajdonság használatával get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ matrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ bármely valós $ t, u $ .

A jobb oldali mátrix szorzatának szorzata és a bal oldali mátrixszal való összehasonlítása azonnal megadja a összegazonosságok:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ bármely valós értékre $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ bármely valós értékre $ t, u $ .

Amikor egyszerűsíteni szeretné a trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezéseket összegeken szögeknél, fontolja meg ezen identitások használatát a csökkentése érdekében a kifejezés $ \ cos, \ sin $ a lehető legkisebb szögből.

Valójában az összes trigonometrikus i A csak számtani műveleteket és trigonometrikus függvényeket magában foglaló fogorvoslatok csak a fenti definíciók és a legfontosabb algebrai tények felhasználásával bizonyíthatók. Kicsit kíváncsi, hogy még a szimmetria tulajdonságai is algebrailag igazolhatók a következők szerint.

Adott bármilyen valós $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [szög-összeg]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [szög-összeg]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

A valódi elemzés folytatásához a következő tényekre lenne szükségünk, amelyeket egyelőre axiómának tekinthetünk (és később külön igazolhatunk):

1. $ \ sin “= \ cos $ .
2. $ \ cos “= – \ sin $ .

Mint korábban, minden kb n ezekre redukálódik, így nincs valódi szükség arra, hogy bármi mást megjegyezzünk (bár ez kényelmes is lehet).

---

Komplex trigonometria

Személy szerint, Úgy gondolom, hogy a legjobb, ha egyenesen a komplexen értékelt trigonometrikus függvényekhez megyünk, ha teljes és szigorú alapokra vágyunk az elemzés . Az egyik egyszerűen meghatározza: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ minden komplex $ z $ (után bizonyítja, hogy az összeg konvergál).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ a $ \ cos $ ( miután bizonyította, hogy létezik).

A motiváció az, hogy $ \ exp: \ cc → \ cc $ úgy, hogy $ \ exp “= \ exp $ és $ \ exp (0) = 1 $ , hogy képesek legyünk az általános lineáris differenciálegyenletek megoldására, és szeretnénk $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ olyat, hogy $ \ cos “” = – \ cos $ és $ \ sin “” = – \ sin $ és $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ és $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , hogy képes legyen egyszerű harmonikus mozgás megoldására, és Taylor-terjeszkedés a $ \ exp, \ cos, \ sin $ fenti definícióihoz vezet, amelyekről bebizonyíthatjuk, hogy az egész komplex síkon konvergálnak. A $ π $ fenti meghatározása a legkönnyebb, amelyet ismerek, és ez nem függ semmilyen geometriától. (Erről a motivációról bővebben lásd: ezt a bejegyzést .)

Elég azt mondani, hogy ezekkel a definíciókkal alapvető elemzéssel bizonyíthatjuk hogy a $ \ exp, \ cos, \ sin $ kielégíti a kívánt motiváló tulajdonságokat, valamint egy másik kulcs tulajdonság / $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ bármilyen komplex $ z esetén, w $ .

csak valódi változók).

Például adott bármilyen komplex $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Ennek ellenére gyakran még mindig könnyebb először igazolja ugyanezeket a kulcsfontosságú algebrai tényeket a $ \ cos, \ sin $ számára, majd más identitások igazolására használja őket, minthogy mindent $ \ exp $ .

Hozzászólások

• További matematikai kérdésekért kérjük, látogasson el ide: ez a csevegőszoba .

Do Saylor Academy vagy edX van valami, ami segít neked? Mindkettő ingyenes platform matematika tanfolyamokkal. A Saylor Akadémia szinte kizárólag tankönyvet használ – ezek révén valóban hitelhez juthat. A Modernstates.org is segíthet Önnek – saját tanfolyamuk van videókkal, amelyek megtanítják. A Rootmath jó forrás lehet. Tervezi, hogy kreditet szerez ehhez a tanfolyamhoz a Clep révén?