Az átlag standard hibájának (SEM) kiszámítása több időponttal

A standard hiba a becslő szórása; a SEM tehát akkor merül fel, ha a minta átlagát használja a tényleges mögöttes populáció átlag becsléséhez. Ebben az esetben a becsült standard hiba általában jóval kisebb lesz, mint az eredeti adatpontok minta szórása, mivel az átlagbecslő kevésbé változó, mint maga az adat.

Ennek konkrétabb megtekintéséhez , a $ X_1, …, X_n \ sim \ text {IID Dist} $ legyen a megfigyelhető mintaértéke, és a $ \ bar {X} = \ sum_ {i = 1} ^ n X_i / n $ legyen a kapott minta átlag, amelyet az alapul szolgáló populáció átlagának becslésére használnak: $ \ mu = \ mathbb {E} (X_i) $. Ha hagyjuk, hogy a $ \ sigma ^ 2 = \ mathbb {V} (X_i) $ legyen az alapul szolgáló populációs variancia, akkor a minta átlagának igazi standard hibája:

$$ \ begin {equation} \ begin {igazítva} \ text {se} \ equiv \ text {se} (\ bar {X}) \ equiv \ mathbb {S} (\ bar {X}) & = \ sqrt {\ mathbb {V} (\ bar {X})} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ mathbb {V} \ Big (\ frac {1} { n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ Nagy)} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ { i = 1} ^ n \ mathbb {V} (X_i)} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n \ sigma ^ 2} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {n \ sigma ^ 2} {n ^ 2}} \\ [6pt ] & = \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ 2} {n}} \\ [6pt] & = \ frac { \ sigma ^ 2} {\ sqrt {n}}. \\ [6pt] \ end {aligned} \ end {equation} $$

Az ismeretlen $ \ sigma $ paraeter helyettesítése a megfigyelhető minta szórással $ s $ a becsült standard hiba :

$$ \ widehat {\ text {se}} = \ frac {s ^ 2} {\ sqrt {n}}. $$

A becsült standard hiba nem a diszperzió becsült értéke az alapul szolgáló adatok; ez a becslő szétszóródásának becslése a problémádban, ami ebben az esetben a minta átlag. Mivel a minta átlaga az összes megfigyelt érték felett van, sokkal kevésbé változó, mint a kezdeti értékek. Pontosabban, a fenti eredményből láthatjuk, hogy az átlag becsült standard hibája megegyezik az alapul szolgáló adatok minta szórásával, osztva $ \ sqrt {n} $ -val. Most, nyilvánvalóan, amint a $ n $ nagyobb lesz, a SEM lényegesen kisebb lesz, mint az alapul szolgáló adatok minta szórása.

Miután kiszámolta a becsült SEM-et, általában ezt kell használni: adjon meg egy konfidenciaintervallumot a valódi mögöttes populáció átlagához $ \ mu $ bizonyos megadott konfidenciaszintnél $ 1- \ alfa $. Ezt a szokásos intervallumképlet segítségével tehetjük meg egy populációs átlagra:

$$ \ text {CI} _ \ mu (1- \ alpha) = \ Big [\ bar {X} \ pm t_ { n-1, \ alpha / 2} \ cdot \ widehat {se} \ Big] = \ Big [\ bar {X} \ pm \ frac {t_ {n-1, \ alpha / 2}} {\ sqrt {n }} \ cdot s \ Big]. $$

A kérdésében megfogalmazott céltól eltérően soha nem célszerű jelenteni az intervallum $ \ bar {X} \ pm \ widehat {se} $; ez csak egy bizalmi intervallum, amely furcsa követelményt támaszt, hogy $ t_ {n-1, \ alpha / 2} = 1 $, ami valószínűleg félrevezető az olvasó számára. Ehelyett egy ésszerű megbízhatósági szintet kell választania $ 1- \ alpha $, és meg kell adnia egy megfelelő megbízhatósági intervallumot, jelentve az olvasónak a megbízhatósági szintet.

Alkalmazás az Ön adataira: Az elemzéséből kiderül, hogy összesíteni kíván adatait, figyelmen kívül hagyva az időérték kovariációit, és ezért egyetlen IID mintaként elemezve őket. Ez nem feltétlenül a legjobb módszer az adatok elemzésére, de ezt a módszert fogom használni, hogy a kérdésében a SEM szempontjaira összpontosítsak. Ennek alapján van $ n = 30 $ és $ s = 0.7722 $ (amit a táblázat harminc értékéből számoltam ki). Az átlag becsült standard hibája ekkor $ $ widehat {\ text {se}} = 0.7722 / \ sqrt {30} = 0.1410 $ legyen. Számomra nem világos, hogyan kapta meg a kérdésében közölt ellentétes értéket.

Mindenesetre láthatja, hogy a becsült $ \ widehat {\ text {se}} = 0,1410 $ standard hiba lényegesen alacsonyabb, mint a minta szórása $ s = 0,7722 $. Amint azt fentebb megjegyeztük, ez nem meglepő, mivel az előbbi a minta átlagának becsült szórása, és a minta átlaga kevésbé változó a több adatpont közötti átlagolás miatt. Ha $ \ alpha = 0.05 $ -ot veszünk, megkapjuk a $ t_ {n-1, \ alpha / 2} = t_ {29,0.025} = 2.0452 $ értéket, így a valódi populáció átlagához tartozó $ 95 $% konfidencia intervallum: >

$$ \ text {CI} _ \ mu (0.95) = \ Big [7.7920 \ pm 2.0452 \ cdot 0.1410 \ Big] = \ Big [7.7920 \ pm 0.2884 \ Big] = \ Big [7.5038, 8.0804 \ Nagy]. $$

Amint megjegyeztük, ez az elemzés figyelmen kívül hagyja az időadatokat, és az összes értéket egyszerűen egyetlen IID mintaként kezeli, ezért fontos megjegyezni, hogy ez a konfidenciaintervallum függ a az adatok (amire látszik, hogy utánajársz). Ez nem a legjobb elemzési forma; jobb megközelítés az, ha a kovariált időt használjuk egy regressziós modellben.

Ne feledje, hogy a SEM nem a A minták az átlaghoz képest az átlagbecslők STD-je.

Az egyértelműség kedvéért az eloszlás STD-jének körülbelül ugyanannak kell maradnia, mint a nagy mintaszámnál, de az átlagbecslő valójában konvergál és a hibája 0-ra megy.