A megközelítésemben alapvető hibának kell lennie. Kezdjük azzal, hogy megállapítjuk, hogy van egy egyszerű regressziónk, két változóval: $ X_t $ és $ Y_t $:
$ Y_t = BX_t + e_t $
Ahol $ B $ az együttható és a $ e_t $ a hiba kifejezés. Ezután vegye az említett egyenlet első különbségét úgy, hogy mindkét oldalról eltávolítja a $ Y_ {t-1} $ -t:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t – Y_ {t-1} $
Helyettesítse a $ Y_ {t-1} $ értéket az első egyenletből:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t -BX_ {t-1} -e_ {t-1} $
=> $ ΔY_t = BΔX_t + Δe_t $
Az első különbség regresszió gyakran így jelenik meg, de akkor amikor ténylegesen fut, akkor úgy fut, hogy a $ X_t $ és $ Y_t $ értékeket helyettesíti különbségeikkel, és nem úgy, hogy mindkét oldalról kivonja a $ Y_ {t-1} $ értéket:
$ ΔY_t = B_1ΔX_t + v_t $
Ahol $ v_t $ az egyenlet új hibaterme. Most ezek az eljárások nem egyenértékűek, miért írják le őket ilyennek? Miért gyakran az első különbségmodell hibatartalma $ \ Delta e_t $ néven írható le, amikor szintén ez nem igaz, mivel a hiba kifejezés nem kapcsolódik az eredethez al hiba kifejezés, mivel a becsült egyenlet egyszerűen más. Végül miért nem az első különbség regressziót hajtjuk végre úgy, hogy mindkét oldalról kivonjuk a $ Y_ {t-1} $ értéket, ekvivalens eredményt adva az első egyenletnek (ebben az esetben keresztmetszeti panel adatok nélkül)?
Válasz
Valójában a két eljárás ugyanaz. A különbség a $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + \ Delta \ epsilon_t $$ között és $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + v_t $$ az, hogy megbecsülheti a másodikat, de az elsőt nem, mert nem figyeli a $ \ epsilon_t $ értéket. Tehát az első egyenlet inkább elméleti modell, míg a második az a becslési egyenlet, amelyet a gyakorlatban használna. Ha közvetlenül le akarta vonni a $ Y_ {t-1} $ -t mindkét oldalról manuálisan, akkor ez csak akkor valósítható meg, ha megfigyeli az igaz hibákat. Észre fogja venni, hogy a $ v_t $ a $ \ epsilon_t $ becslése. Rendezze át az elméleti modellt és a regressziós egyenletet, ha $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = \ Delta \ epsilon_t $ és $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = v_t $, akkor igaznak kell lennie, hogy $ \ Delta \ epsilon_t = v_t $. Vegyünk egy egyszerű példát, ahol két időszak és $ B = 0,3 $ állandó az idő múlásával.
$$ \ begin {array} {c | lc | r} time & Y_t & X_t & Y_t – BX_t = v_t \\ \ hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \ hline \ Delta & 3 & 4 & 3 – 0,3 \ cdot 4 = 1,8 \ end {tömb} $$
Tegyük fel, hogy a $ v_t $ következetes becslés volt a $ \ epsilon_t $ értékre periódusok (ami itt igaz, mert $ B $ kijavításával determinisztikusan meghatároztuk az adatgenerálási folyamatot), akkor a $ \ widehat {v} _t = \ Delta \ epsilon_t = 1,8 $ a maradék a második regressziónkból, mint a az első egyenlet hibája.
Megjegyzések
- Nem tudok ' t nem egyszerűen megbecsülni az első modellt a megfigyelhető elmaradt értékek kivonásával az Y értékét mindkét oldalról, ahelyett, hogy kivonná Y lemaradt értékét a bal oldalról és X elmaradt értékét a jobb oldalról. Nem kell így kiszámolni a megfigyelhetetlen hibát (bár úgy gondolom, hogy ez is lehetséges). Számomra úgy tűnik, hogy ugyanezt a béta együtthatót feltételezve feltételezted a különbséget. Igen, a hibák megegyeznek egymással, ha az együttható történetesen megegyezik. De ez nem a szokásos eset. Ezért olyan fontosak a kointegrációs modellek …
- Azt feltételezted, hogy a $ B $ az idő múlásával is állandó, mert nincs idő indexe. És általában nem vonhatja le egyszerűen az $ Y_ {t-1} $ értéket mindkét oldalról, mert ehhez meg kell figyelnie a $ e_t $ értéket.
- A végső egyenletben van egy index, a Vt hibataggal. Ennek a két különböző egyenletnek a becslése nem eredményezi ugyanazt a bét '.
- És mit jelent a $ B_1 $? Ha $ B $ nem ' t konstans, akkor nem különböztetheti meg az időtartamokat abban, ahogyan tette, mert $ B_2 X_t – B_1 X_ {t-1} = (B_2 – B_1) \ Delta X_t $.
- Igen, tudom, mert a becsült együttható pontosan megegyezik az első és a második egyenletben (ha a kiindulási értékek 0 – amit feltételeztem), ez nem így van a végső egyenlettel (tehát b1). De itt az a fontos kérdés, hogy jól olvasom-e, hogy az első különbség regressziós módszer feltételezi, hogy a differenciált és a szintegyenletek B ' sei egyenlőek … a valós életben nem. A különbségek becslése teljesen más dolog, mint a szintek becslése …