Problémát kaptam házi feladathoz, ahol ki kellett számolnunk egy leeső tárgynak az adott sebesség eléréséhez szükséges időt a húzóerő elszámolásakor. Úgy tettem, hogy beállítottam a gyorsulást a sebesség függvényében és integráltam (ez differenciálegyenlet volt).
Ez azonban egy bevezető fizika tanfolyam, amelyre nincs szükség a számítás ismeretére. Szigorúan véve még nem is csináltunk származékokat. Elég szerencsés voltam, hogy már korábban is vettem számológépet, így képes felismerni és megoldani a differenciálegyenletet.
Amikor megkérdeztem osztálytársaimat, hogy csinálták, azt mondták, addig kavarogtak a számokkal, amíg nem kaptak valamit, ami működött (online volt, a rossz válaszokért pontot nem vontak le) Legtöbben csak megosztották a terminális sebességet a gravitáció miatti gyorsulással, aminek semmi értelme, mivel nem is kértünk időt a terminális sebesség elérésére, hanem annak 63% -át. Ez a módszer véletlenül ugyanarra a számra kerekedett, mint a helyes.
A kérdésem az, hogy van-e valamilyen módszer arra, hogy ezt az értéket az elemi fizika segítségével megtaláljuk, vagy a professzorom tisztességtelen problémát okozott nekünk? A TA-knak nincs segítség, és óráim vannak az irodai munkaidőben.
Maga a kérdés a következő:
egy 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg esőcsepp végsebessége kb. 9 m / s. Feltéve, hogy $ F_D = −bv $ húzóerőt feltételezzük, határozzuk meg az ilyen eséshez szükséges időt, nyugalmi időponttól kezdve a 63-ig. A terminál sebességének% -a.
Megjegyzések
- Mivel a válasz egyirányú exponenciális / logaritmust tartalmaz vagy egy másik, valamilyen megoldást kellene kifejlesztenie, amely magában foglal egy exponenciális / logaritmust .. Válassza ki a méregét … Úgy érzem, hogy ' ez a számítás valamilyen közelítése lesz.
- Úgy gondolom, hogy a logaritmusokat magában foglaló megoldás tisztességes játék lenne. ' nagyjából elvártuk, hogy tudjuk ezt. A probléma az, hogy tudok ' t az egész életemre gondoljon ennek bármilyen módjára, amely nem tartalmaz ' t differenciálegyenletet. Talán én t ' s, mert én ' szoktam ilyen problémákat csinálni a számítás után. Ha valaki kitalálna egy másik módszert, nagyra értékelnénk.
- Lehetséges, hogy ' összefüggésben áll, hogy 63% 1 dollár – e ^ {- 1} $
Válasz
Ha a húzóerőt a $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, akkor a probléma egyértelmű . A leeső cseppek függőleges erőmérlege $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$, amely a sebesség következő differenciálegyenletét adja: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ A maximális sebesség / nulla gyorsulás $ (\ dot {v} = 0) $ korlátozó esetben az erőegyensúly $$ mg = bv_ {max} értékre egyszerűsödik. , $$ vagy $$ \ dobozos {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Visszatérve differenciálegyenletünkre, ha a kezdeti sebesség $ v (0) = 0 $, akkor a ez az ODE: $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Azáltal, hogy az időállandót $ \ tau = \ frac { m} {b} $ és a terminális sebesség definícióját használva a sebesség időbeli alakulása $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ A pozíció kívánt esetben elég könnyen megtalálható egy másik integráció végrehajtásával: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Feltéve, hogy a kiinduló helyzet $ y (0) = 0 $ és leegyszerűsítve, a függőleges helyzet megoldása ekkor $$ \ dobozos {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ balra [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Tehát most analitikai megoldásaink vannak a leeső tárgy gyorsulására, sebességére és helyzetére, az idő és a rendszer paramétereinek függvényében, amelyek mindegyike ismert ( kivéve $ b $). Ne feledje azonban, hogy a $ 0.63v_ {max} $ sebesség eléréséhez kért idő nem önkényes. Miután egy időállandó letelt, $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ dobozos {63.212 \%} lesz. $$ Így egyszerűen ki kell számolnunk az időállandó értékét, és az így kapott érték lesz a válaszod. Az osztálytársaiddal kapcsolatban nem tévednek. Célunk a $ \ tau $ kiszámítása, és ha alaposan megnézzük korábbi matematikánkat, látni fogjuk, hogy a $ \ tau $ valóban megegyezik a terminális sebességgel osztva $ g $ -val. A helyzet, a sebesség és a gyorsulás függvényeinek oktáv diagramjai az alábbiakban találhatók referenciaként (a $ k $ helyett $ b $ a második ábrán).
Megjegyzések
- Igen, ezt soha nem tanították nekünk egyenlet, amelyhez linkeltél. De köszönöm, nagyjából pontosan ezt kerestem.Csak azt akartam tudni, hogy létezik-e általánosabb módszer a kérdés megoldására, amelyet állítólag képesek vagyunk kitalálni, és úgy tűnik, hogy a válasz nem.
- @JakeChristensen Még mindig lehet más hogy megtalálja a választ, de ne feledje, hogy a Kalkulust (legalább Newton ' s Kalkulust) a fizika problémák megoldására találták ki 😉
Válasz
Általában a húzás arányos a sebesség négyzetével, így a lefelé történő gyorsulás
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Az ilyen mozgás megoldása $$ \ begin {aligned} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {aligned} $$
Csatlakoztassa tehát a megcélozni kívánt $ v $ sebességet, és megadja a távolságot $ x $ és $ t $ , hogy elérje.
PS. Ha nem ismeri a $ \ beta $ húzóparamétert, de ismeri a legnagyobb sebességet, akkor a legnagyobb értékből becsülheti meg a $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Válasz
1) Keresse meg a vonóerőt a végsebességnél. 2) Szorozza meg ezt az erőt .63-mal (63%) 3) Ossza meg ezt az új erőt az esőcsepp tömegével. 4) Használja a sebességgyorsítási időt kinematikai egyenlet az idő megoldására $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Megjegyzések
- Ez nem ' nem helyes. Feltételezed, hogy a gyorsulás állandó (amit kifejezetten nem jelent a sebesség és a légellenállás megváltoztatása) . Én ' m feltételezem, hogy $ a (t) $ jelentése $ a * t $, mivel ha $ a $ -ra gondolsz $ t $ függvényében, aminek semmi értelme mind.