Végig akarom járni az impulzusvonat frekvencia-ábrázolásának levezetését.
A meghatározás az impulzusvonat-funkció $ T $ periódussal és a frekvenciaábrázolás mintavételi frekvenciával $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $, amelyet levezetni szeretnék:
\ begin {align *} s ( t) & = \ összeg \ korlátok_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limit_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Az impulzusfüggvény exponenciális Fourier-sorozat-ábrázolásának használata és onnan a Fourier-transzformáció alkalmazása a következőket eredményezi:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ összeg \ korlátok_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limit_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Ahhoz, hogy onnan a végeredményhez jusson, úgy tűnik, hogy az integráció $ 2 \ pi $ időtartamra van szükség. Ahol $ \ Omega = -k \ Omega_s $, a kitevő értéke $ e ^ 0 $ lenne, és integrálódna a $ 2 \ pi $ -ba, és a $ \ Omega $ egyéb értékei esetén egy teljes szinusz hullám lenne, amely integrálódna nullára. Az integráció határai azonban a negatív végtelenségtől a pozitív végtelenségig terjednek. Meg tudja valaki magyarázni ezt? Köszönöm!
Válasz
Helyesen rájöttél, hogy a előforduló integrálok nem konvergálnak a hagyományos értelemben. A legegyszerűbb (és határozottan nem szigorú) az eredmény megtekintésének módja a Fourier transzformációs reláció megjegyzése
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Az eltolással / modulációs tulajdonságunk van
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Tehát minden kifejezés $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ a Fourier-sorozatban $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $ értékre változik, és az eredmény következik.
Megjegyzések
- Ez tökéletes és sokkal könnyebb, mint amilyennek elkészítettem. Köszönöm szépen !!!
- A másik válasz is helyes volt. Átváltottam az elfogadottat.
Válasz
@MattL javasolt egy egyszerű, egyszerű módszert a fenti eredmény megtekintésére.
De ha szeretné látni az eredményt az Ön által említett normális elemzési egyenletekben, ezt megteheti az alábbiak szerint / p>
Mondjuk, hogy S (t) az impulzusok periodikus vonata. Tehát S (t) a következővel írható:
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Ha az S (t) négyes sorozatát veszi, akkor S (t) -et írhat
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Ahol $ C_n $ exponenciális Fourier sorozategyüttható, $ w_o $ pedig alapvető frekvencia.
Tehát az exponenciális Fourier-sorokból tudjuk, hogy
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Most a fenti kifejezésben helyettesítse az S (t) értékét az első kifejezésből.
Tehát $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Most meg kell tenned egy megfigyelést, ha megfigyeled az integrált, az -T / 2-től + T / 2-ig terjed. Ebben az integrál periódusban figyelje meg, hogy csak egyetlen impulzus létezik $ \ delta (t) $. Az összesítés összes többi impulzusfüggvénye T / 2 után vagy -T / 2 előtt következik be. Összességében tehát a fenti $ C_n $ egyenlet leírható
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
A tulajdonság szitálásából a következőket írhatjuk:
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Most tegye ezt a $ C_n $ értéket az első S (t) egyenletbe
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Most keresse meg a fenti egyenlet Fourier transzformációját
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Tehát a Fourier transzformáció $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Ez segíthet.