Zavartam a négy sebesség meghatározása mögött meghúzódó motivációt. Schutz “ első tanfolyama Általános relativitás ban az érintő vektor fogalmát használja a részecske világvonalának minden pontján, amelyet $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Később kijelenti, hogy
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
Az a matematikai magyarázat, amelyet az összes megfigyelő által elfogadott paraméterként a megfelelő idő használatára találtam, de nem tudom felismerni, hogy milyen problémákat kapunk ezzel a definícióval, a
\ begin {egyenlet} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {egyenlet}
ahol a $ t $ az idő mértéke bizonyos S inerciális keretekben.
Megjegyzések
- Nem gondolom, hogy ' nem gondolom, hogy ' feltenné ezt a kérdést az euklideszi térben. Vegyünk egy görbét $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Ezután az érintő vektorokat $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. VAGY követhetnénk az utóbbi javaslatodat, és használhatnánk a $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $ értékeket. Az érintő vektor továbbra is a helyes utat fogja mutatni, de nem r jól definiálva van, és a definíció már nem teszi lehetővé a koordináták összekeverésével történő forgatást, mivel $ x $ -ot emel ki.
- A könyv nem magyarázza valahol, hogy a négy sebesség meg van határozva így, hogy ez egy Lorentz-négyvektor?
- @ jacob1729 tudsz nekem példát mondani? ' Összetévesztettem ezt a témát
Válasz
@Milan már válaszolt a meghatározásod technikai problémáira.
Szeretnék rámutatni koncepcionális problémákra. Szeretnénk, ha a 4 sebesség valamilyen módon jellemezné egy tárgy mozgását a téridőn keresztül. Fogalmilag van értelme azt követelni, hogy az ilyen mennyiség csak azoktól a mennyiségektől függjön, amelyek közvetlen kapcsolatban állnak az adott mozgással. Tehát olyan véletlenszerű megfigyelő idejének elhozása, amelynek semmi köze nincs az objektum mozgásához, fogalmilag furcsa döntés lenne. Van értelme a 4 sebességet az objektumok világvonalának érintő vektoraként definiálni, mert ez a matematikai entitás közvetlenül kapcsolódik Természetesen szükségünk van a világvonal bizonyos paraméterezésére, amely ideális lenne magának a világvonalnak / mozgásnak, és nem függ semmilyen külső mennyiségtől. Mivel a téridőben minden tárgynak megvan a saját órája, ezt a görbét természetesen az objektum órája, vagyis a megfelelő ideje adja meg.
Ne feledje, hogy ily módon egyáltalán nem kell beszélnie a Lorentz csoportról. Amikor először megismertem a 4 sebességet, az a döntés, hogy a derivatívában a megfelelő időt használom, véletlenszerű döntésnek tűnt számomra valamilyen Lorentz 4-vektor megalkotására. De valójában mélyebb geometriai okai vannak, ahogy megpróbáltam elmagyarázni.
Megjegyzések
- Tudna ajánlani néhány relativitáselméleti könyvet, amely elmagyarázza ezeket a témákat, ahogyan te elmagyarázta?
- @Lil ' A gravitáció nem igazán, de adhatok neked három könyvet, amelyek személy szerint nekem kiemelkednek. Misner, Wheeler, Thorne – A gravitáció nagyon intuitív szinten magyarázza az általános relativitás és a differenciálgeometriát – a matematika nagy részének fizikai motivációival együtt. A Wald – Az általános relativitáselmélet remek formális, geometrikus megközelítés, hogy tisztán lássa, hogyan vannak meghatározva a fogalmak. absztraktan, koordinátarendszer nélkül. Aztán vannak Fecko – Differenciálgeometria és Lie csoportok a fizikusok számára, amelyet én tartok a legjobb tankönyvnek a differenciálgeometriáról.
Válasz
Az első definíció négyvektorrá alakul: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
A második meghatározás nem egészen négyvektoros formában alakul át: $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Ennek értelme van, mivel az első definícióban felosztja egy négyvektor különbségeit (amelyek maguk is átalakulnak négyként -vektor) skalárral (invariáns a Lorentz csoport alatt).