Hamilton ' s alapelv

A 1. hetének jegyzetei John Baez lagrangi mechanika tanfolyama betekintést enged a cselekvési elvek motivációiba.

Az az elképzelés, hogy a legkevesebb cselekvés a virtuális munka elvének meghosszabbításának tekinthető. Ha egy tárgy egyensúlyban van, akkor nulla munka kell ahhoz, hogy tetszőleges kis elmozdulást végezzen rajta, azaz e. bármely kis elmozdulásvektor pontszorzata és az erő nulla (ebben az esetben azért, mert maga az erő nulla).

Ha egy tárgy gyorsul, ha hozzáadunk egy ehetetlenségi erőt $ \, – ma \, $ , akkor egy kis, tetszőleges, időtől függő elmozdulás az objektumok igaz pályájáról ismét nulla pont szorzatot eredményez $ \, F-ma, \, $ a valódi erő és a tehetetlenségi erő. Ez

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

ott a jegyzetekben talált néhány számítás az álló cselekvési integrálhoz vezet.

Baez D “Alembertről többet beszél, mint Hamiltonról, de akárhogy is, ez érdekes pillantást vet az ötlet eredetére.

megjegyzések

• Ne feledje, hogy a virtuális munka elvét D ‘ Alembert-elvnek hívják: hu.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Amint az alábbi képen látható, azt szeretné, hogy a cselekvési integrál változata minimális legyen, ezért a $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ értékének 0 $ kell lennie. Ellenkező esetben nem a $ q_ {t_ {1}} $ és a $ q_ {t_ {2}} $ közötti igazi utat választja, hanem egy kicsit hosszabb utat. Azonban, ha tudod, még a $ \ delta S = 0 $ nyomon követésével is végződhet egy másik véglet.

A jc linkjét követve megtalálhatja a Általános dinamikai módszerről című részt, amely valószínűleg megválaszolja Hamilton érvelésével kapcsolatos kérdését. Nem olvasok de szinte biztosan megéri.

Megjegyzések

• Ez tautológiai válasznak tűnik, mivel pontosan Hamilton ‘ elv, amellyel elsősorban a fenti képet kapják.
• Talán megtanították neked Hamilton ‘ elvét, és eljutottak ehhez kép magyarázatként, de a kép teljesen általános. Leírja a függvény variációját fix végpontokkal.

Általában elmondom a történetet, hogy a cselekvési elv egy másik módja annak, hogy azonos differenciálegyenletekhez jussunk – tehát a mechanika szintjén a kettő egyenértékű. A kvantumtér-elméletről azonban az instanton-effektusok mérlegelésekor elengedhetetlen az exponenciált cselekvés útvonal-integráljainak leírása. Végül az ember úgy találja, hogy a cselekvések megfogalmazása alapvetõbb és fizikailag megalapozottabb.

De az emberek mégsem “érzik” a cselekvést úgy, ahogyan érzik az energiát.

Ne feledjük, hogy a kezdeti a $ q (0), (dq / dt) (0) $ feltételeket haladtuk meg először, és a legkevesebb cselekvési elvet később, mint sorrendet fogalmaztuk meg. Bár matematikailag szép és elegáns, a A legkisebb cselekvés elve valamilyen jövőbeni “határ” feltételt használ $ q (t_2) $, amely fizikailag ismeretlen. Nincs legkevésbé csak a kezdeti feltételekkel működő cselekvési elv.

Ezenkívül feltételezhető, hogy a az egyenletek fizikai megoldásokkal bírnak. Ez így van a klasszikus mechanikában, de téves a klasszikus elektrodinamikában. Tehát még formálisan helyes “elvből” is levezetve, az egyenletek fizikai és matematikai szinten is tévesek lehetnek. Ebben tiszteletben tartva, a megfelelő fizikai egyenletek megfogalmazása alapvetőbb feladat a fizikusok számára, mint az egyenletek „automatikus” megszerzésének valamilyen „elvére” támaszkodni. Mi, fizikusok vagyunk felelősek az egyenletek helyes megfogalmazásáért.

A CED-ben, a QED-ben és a QFT-ben rossz megoldásokat kell “menet közben javítani”, csak azért, mert a fizikát kitalálták és kezdetben helytelenül hajtották végre.

PS Szeretném bemutatni, hogy a rendszer a valóságban hogyan “választja” ki a pályáját: ha $ t = 0 $ értéknél a részecske impulzusa $ p (t) $, akkor a következő alkalommal $ t + dt $ rendelkezik a momentummal $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Ez a növekedés időben meglehetősen lokális, ezt a jelenlegi $ F (t) $ erőérték határozza meg, így egyetlen jövőbeli “határ” feltétel sem tudja meghatározni. A pályát nem a virtuálisak közül választják ki; az erő, a koordináta és a sebesség pillanatnyi értékei “rajzolják”.

Megjegyzések

• Szeretném azt gondolni, hogy mindkét lehetőség csupán matematikai modellek, így egyik sem valóságosabb. Sem a rendszer nem választja meg a pályáját, sem a jövő nem határozza meg a legkevesebb cselekvési utat. A QM nem lokalitása hasonló kétségekhez vezet.
• Bámulatos, hogy ma már létezik egy legkevésbé cselekvési elv, amely csak a kezdeti feltételekkel működik! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Itt van egy ingyenes arXiv verzió . A cikk részletes elolvasása nélkül klasszikus Keldysh-formalizmus illata van, vö. ezt és ezt a Phys.SE bejegyzést.

Ahelyett, hogy pontosan megadnánk a kiinduló helyzetet és a lendületet, mint ahogy azt Newton formalizmusában tettük, fogalmazzuk meg kérdésünket a következőképpen:

Ha a kezdő és a végső pozíció megadását választjuk: $ \ textbf {Milyen utat választ a részecske?} $

Let” azt állítják, hogy a következő formalizmus, az úgynevezett Lagrangi-formalizmus vagy a Hamilton-elv alapján helyreállíthatjuk Newton formalizmusát.

A fenti ábrán nem minden egyes úthoz hozzárendelünk egy számot, amelyet cselekvésnek hívunk

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ balra (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

ahol ez az integráns a különbség a mozgási energia és a potenciális energia.

$ \ textbf {Hamilton elve azt állítja} $: A részecske valódi útja a S.

$ \ textbf {Proof:} $

1.Változtassa meg kissé az útvonalat:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. Tartsa rögzítve az útvonal végpontjait :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3.Vigye a művelet variációját $ S $:

végül

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Az a feltétel, hogy az általunk indított út a művelet szélsősége:

$$ \ delta S = 0 $$

aminek meg kell felelnie az összes változásnak: $ \ delta \ vec {r} (t) $, amelyet az útvonalon végzünk. Ez csak akkor történhet meg, ha a $ [\ cdots] $ kifejezés nulla.Ez azt jelenti, hogy

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Most ezt $ \ textbf {Newton-egyenletek} $ -ként ismerjük fel. A művelet szélességének megkövetelése egyenértékű azzal, hogy az útvonalnak meg kell felelnie Newton egyenleteinek.

További részletekért olvassa el ezt a pdf előadást.

Remélem, hogy ez segít.

Megjegyzések

• Ha egy részecskét látunk kényszerítve mozgatni egy gömbön, elérjük az utakat az egyik maximum vagy minimum. Úgy érzem, hogy egy részecske a legkevesebb cselekvési utat követi, de a δS = 0 matematikai egyenlet kétértelmű választ ad nekünk, de ennek a válasznak egy bizonyos része a legkevesebb cselekvési utat tartalmazza. Láthatja Arfkent és Weberet.