A Heisenberg-képen (természetes dimenziókat használva): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Ha a Hamilton-féle független az időtől, akkor mindkét fél részleges deriváltját vehetjük az idő tekintetében: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ részleges_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Ezért $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$, de ez nem egyenértékű azzal, amit sok tankönyv felsorol a Heisenberg-mozgásegyenlet. Ehelyett azt állítják, hogy $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ részleges_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Miért igaz ez általában, és nem az előbbi állítás? Csak pedáns vagyok a részleges és a teljes derivatívák használatával?
Megjegyzések
- Miért alkalmazott részleges deriváltat? A Heisenberg-formalizmusban az állami kéták időben rögzítettek, az operátorok időben változóak. Tehát felveheti az operátor teljes időszármazékát az LHS-en.
- Sajnálom, hogy ' nem tudom megérteni a logikáját. Itt a $ O_s $ változhat az idő függvényében, és a $ O_H $ is, de nagyon egyértelmű, hogy az LHS-en van egy teljes idő derivált. $ O_H $, és az RHS-en megjelenik egy részleges idő származék . Miért nem ' t mindketten részleges származékok időben?
- @ I.E.P. Az Eq. (2), a bal oldalon miért nem ' t $ $ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, A bal oldalon a $ \ frac {d \, O_H} {dt} $ értéket kell használnia, és a teljes derivatívát részleges deriváltak összegeként lehet kifejezni.
- @IEP Azt hiszem, itt hiányzik a teljes és a részleges derivált matematikai különbsége. Bal oldalon a $ O_H $ a $ t $ függvényében, ezért a teljes derivált, a jobb oldalon $ O_H $ mint összetett függvény az (1) reláción keresztül, ezért minden komponensfüggvény parciális deriváltja.
Válasz
Néhány definícióval, amely az időfüggőségeket egyértelművé teszi, a (4) egyenlet értelmezhető. Vegyük a következőket:
Legyen $ O_s $ operátor az időtől és az egyéb paraméterektől függően $ O_s: \ mathbb {R} \ szoros S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, ahol $ S $ az egyéb paraméterek tere, az $ \ mathrm {Op} $ pedig az operátorok tere a Hilbert téren. Legyen $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} A $ jelöli az operátorok időbeli alakulását a Heisenberg-képen, amelyet $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $ ad.
Ne feledje, hogy $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ és $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (mert $ \ phi $ lineáris $ O $ -ban). Most adott egy $ p \ paraméter S $ -ban meghatározhatjuk az idő függvényét: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ with $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. A $ O_H $ függvényünk egy egyparaméteres, így van értelme csak a teljes deriváltját venni: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ részleges_O \ phi) _t \ balra [(\ részleges_tO_s) (t, p) \ jobbra] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ balra [(\ részleges_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ részleges_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
ahol az első lépésben a láncszabályt alkalmaztam, a többiben pedig a már meglévő egyenlőségeket.
Válasz
Nem, nem “csak” pedáns vagy a részleges származékokkal való visszaélés során: a (2) és (3) egyenleted téves. Egyszerűen nem helyesen alkalmazta a definíciókat, amire a @WeinEld rámutatott. (Lehet, hogy megkímélte magát a bánattól, ha egy egyszerű rendszerhez, például a SHO-hoz illusztrálja a kérdését.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ tehát $ $ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ ahol $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ és hasonlóképpen a p esetében.
A $ O_H $ időszármazéka a részleges deriváltból áll t a pontosvessző után, plusz a konvektív származék a x és p áramlás miatt a Heisenberg-képen, $$ \ frac {\ részleges O_H} {\ részleges x (t)} \ pont {x} + \ frac {\ részleges O_H} {\ részleges p (t)} \ pont {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Bizonyítsd be! Hacsak nem tetted meg, a vita csak párás.)
A parciális derivált $$ \ frac {\ részleges O_H} {\ részleges t} = e ^ {iHt} \ frac {\ részleges O_S} {\ részleges t} e ^ {- iHt} = \ balra (\ frac {\ részleges O_S} {\ részleges t} \ jobbra) _H. $$ (Egyesek ezt $ \ frac {\ részleges O_H} {\ részleges t} $ néven fejezik ki, az olvasóban bízva megértenék, ha csak a pontosvessző utáni argumentum nyilvánvaló megkülönböztetését értenék, de éppen ez a kérdés kétszer gondolkozzon . Most, hogy biztos lehessek benne, mivel a $ O_S $ -nak van egy eltűnő konvektív származéka, a $ dO_S / dt = \ részleges O_S / \ részleges t $, amint azt egy kommentben felvetettük tehát ez nem kérdés.)
Mindenesetre a két darab összerakása a hagyományos $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H hálót hálózza be. $$
Figyelje az egyszerű megfigyelhető tényezők viselkedését, mint például a $ O_S = tx $ a SHO-ban, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, az ünnepelt merev klasszikus jellegű forgatás a fázistérben, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; így $ O_H = tx (t) $. Ezért $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: most értékelje a képek hatékonyságát és különbségeit. (Például $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ a fizikusokkal “a matematikus szokásos elkerülése” ad térkép jelölése.)
Megtalálhatja a véleményét az S képre, mint az euleri keretre, és a H képre, mint a lagrangi, összekötő keretre.