Problémáim vannak a Ho-Lee modellel a rövid kamatlábak miatt, és különböztessem meg, hogyan lehet megtalálni a λ szabad paraméter értékeit a modell a jövőbeni árak előrejelzéséhez.
A Ho-Lee modell a binomiális fa minden egyes lépéséhez: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Ezt olvastam A rekombinációs binomiális fa minden egyes lépésénél az ingyenes paraméter beállításához a 0 állapotú sebességet az aktuális spot kamatlábra (azaz: 1 hónapos spot kamatláb) állítja be, és megtalálja a lambda számára azt az értéket, amelyet a modellhez csatlakoztatva a az aktuális spot kamatláb a következő időpontra (pl .: 1 hónapos spot kamatlábbal kezdve a 0 állapotban és 1 hónapos időlépcsővel, a lambda helyes értéke a modellhez csatlakoztatva az aktuális 2 hónapos spot kamatlábat eredményezi stb.)
Ez megzavar. Miután meghatároztam a lambda értékét a fám minden egyes lépésére, milyen bemeneteket változtatok meg, hogy a modellt a kukával használjam omiumfa a határidős kamatok előrejelzéséhez .. azaz: egy hónapos kamatláb egy hónapban, két hónap alatt stb.?
Ha a leírásom nem egyértelmű, itt van egy kivétel Bruce Tuckman könyvéből tárgy.
… úgy találja meg a λ1 értéket, hogy a modell kéthónapos azonnali kamatlábat állítson elő, amely megegyezik a piacon levővel. Ezután keresse meg a λ2 értéket úgy, hogy a modell három hónapos azonnali kamatlábat állítson elő, amely megegyezik a piacon érvényes értékkel. Folytassa így a fa végéig.
Válasz
Tudja hogy a Ho-Lee modellt a \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} sztochasztikus differenciálegyenletek képviselik, hogy binomiális fánkat megvalósítsuk, az Euler diszkretizációt használjuk. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} ahol $ Z $ egy normál normál véletlen változó. Engedje meg, hogy $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ és az egyenlet kibontása, diszkrét idő alatt \ kezdődik {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Ez a reláció azt mutatja, hogy a rövid ráta a nem sztochasztikus sodródási kifejezések halmazának és a véletlenszerű kifejezések halmazának összege .A $ P (t, t + \ Delta t) $ nem arbitrázs nélküli nulla kuponos kötvény árát így állítjuk be:
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Például a kötvény árának kiszámítása $ n = 2 időpontban $, megadja: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} más szavakkal \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ balra (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ jobbra) \ end {align} Ebben az esetben $ r_t A $ normál eloszlású, így \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} De \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Átírható így: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} majd \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Ez a relatíva megadja a szükséges rekurzív kapcsolatokat a Ho-Lee rövid arbitrázs nélküli arbitrázs-modelljének kialakításához. A rövid kamatlábak alapjául a kötvényárak és a volatilitások struktúráját vesszük. Ezért megkapjuk az evolúciós egyenletet a modell binomiális fájának ábrázolására.
Megjegyzések
- Köszönjük válaszát, bár ' s a megértési szintem fölött van. Egyszerűen fogalmazva, megértem, hogy a modell lényege a jövőbeli kamatlábak modellezése. ' olvastam, hogy a fa minden egyes lépésénél úgy állítottuk be a szabad paramétereket, hogy a modell kiköpje az aktuális spot árfolyamokat. Ha így tudjuk, hogy a modell kalibrálva van, milyen bemeneteket változtatnék meg, hogy felhasználhassam a jövőbeli kamatlábak modellezésére?