Tegyük fel, hogy Hamilton-i van a $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ tőr} + A)) $$ Is ismerünk $ AA ^ {\ tőrt = = A ^ {\ tőrt} A-1 $ és $ A ^ 2 = 0 $, hagyva, hogy $ W = A ^ {\ dagger} A $
Hogyan fejezhetjük ki a $ H $ értéket $ H = \ hbar \ Big (\ begin {mátrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {mátrix} \ Nagy) $
Eddig megmutattam, hogy ha figyelembe vesszük a $ W $, $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Ez azt jelenti, hogy $ A | \ psi \ rangle $ és $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ szintén $ W $ sajátvektorai sajátértékkel $ 1-w $. A $ A ^ 2 = 0 $ használatával megállapíthatjuk, hogy $ w = 0 $ vagy $ 1 $
Nem vagyok teljesen biztos abban, hogy miként fejezzük ki az operátorokat mátrixként, mivel a legtöbb a tanfolyamom hullámfüggvény-jelölést használt, nagyon értékelném, ha valaki elmagyarázná a következő lépéseket, csak hogy jobban megismerhessem azt.
Megjegyzések
- Meg tudod oldani A-ra, az általad írt 2 egyenletből? tegyük fel, hogy az A. mátrixértékeként az a, b, c, d általános komplex számok szerepelnek. Gyanítom, hogy ez működhet.
Válasz
Ahogy @MichaelBrown rámutatott a válaszban, a mátrix elem megszerzéséhez csak be kell illesztenie az operátort két állapot közé. Tehát a hamiltoni $ H $ esetén a mátrixelemek $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Meg kell említenem, hogy a $ i Az Ön által használt $ “s legyen az alapkészlet, amelybe belép. Ha van állapota $ \ psi $, akkor ha csak $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ mint az operátor mátrix elemeit így kifejezni. Ha az operátort maga az állam közé helyezi, akkor az állam elvárásai lesznek. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Megjegyzések
- Köszönöm, hogy időt szán a válaszra, azonban, ahogy azt MichaelBrown-nak mondtam, hogyan alkalmazhatom ezt erre a helyzetre? Ahol csak két sajátvektort ismerek, és azok megfelelő sajátértékek.
Válasz
Az operátor $ O_ {ij} $ mátrix elemét $ határozza meg. $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$, és hagyományos, hogy az $ i $ index felsorolja a sort, az $ j $ pedig az oszlopot. Így a mátrix szorzás úgy működik, ahogy te elvárja: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ amelyet teljes állapotkészlet beszúrásával mutathat meg.
Megjegyzések
- Köszönöm a választ, de hogyan alkalmazhatom ezt erre a helyzetre? Ahol csak két sajátvektort és a hozzájuk tartozó sajátértéket ismerek.