Ha a Normál Normál PDF $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
és a CDF $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
hogyan alakul ez a $ z $ hibafüggvényévé?
Megjegyzések
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Ezt láttam, de az ERF-el kezdődik már meg van határozva.
- Nos, van ' az erf definíciója és a Normal CDF meghatározása. A néhány rutinszámítással levezethető összefüggések a következők: arra, hogy miként lehet konvertálni közöttük, és hogyan lehet konvertálni az inverzeik között.
- Sajnálom, nem látok sok részletet '. Például a CDF értéke -Inf és x között van. Tehát hogyan megy az ERF 0-ról x-re?
- Ismeri a változó változásának számítási technikáját? Ha nem, akkor megtanulja, hogyan kell csinálni.
Válasz
Mivel ez egyes rendszerekben gyakran felmerül (például Például a Mathematica ragaszkodik a Normál CDF kifejezéséhez a $ \ text {Erf} $ kifejezésben, jó, ha van egy ilyen szál, amely dokumentálja a kapcsolatot.
A meghatározás szerint a Hiba funkció
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
$ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ írása $ t = -t jelent z / \ sqrt {2} $ (mert $ t $ nem negatív), ahonnan $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. A végpontok $ t = 0 $ és $ t = x $ lesz $ z = 0 $ és $ z = x \ sqrt {2} $. Ahhoz, hogy az eredményül kapott integrált valamivé, ami úgy néz ki, mint egy kumulatív elosztási függvény (CDF), azt olyan integrálokkal kell kifejezni, amelyek a $ – \ infty $ alsó határa, így:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ balra (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
A jobb oldali méretben található integrálok mind a normál Normal eloszlás CDF értékei,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Konkrétan,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ bal (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Ez megmutatja, hogyan kell kifejezni a Hiba funkciót a Normal CDF-ben. Ennek algebrai manipulációjával könnyen megkapja a Normal CDF-et a Error függvény szempontjából:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Ez a kapcsolat (valódi számok esetén mindenképp) a két függvény parcelláiban jelenik meg. A grafikonok azonos görbék. A baloldali Hiba függvény koordinátáit a jobb oldali $ \ Phi $ koordinátákká konvertáljuk, ha szorozzuk a $ x $ koordinátákat $ \ sqrt {2} $ -val, hozzáadunk $ 1 $ -ot a $ y $ koordinátákhoz, majd osztva a $ y $ koordinátákat $ 2 $ -kal, tükrözve a kapcsolatot
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
amelyben a jelölés kifejezetten megmutatja ezt a három szorzási, összeadási és osztási műveletet.
Megjegyzések
- szerintem $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ a helyes kapcsolatuk módja, figyelembe véve az átlagot és a szórást