Egész életen át tartó matematika hallgatóként a problémamegoldást feltétlenül elengedhetetlennek tartjuk a tantárgy megértésének javításához. Másoknak azt tanítani, amiről tudunk, megerősíti meglévő tudásunkat és terjeszti az információkat a tanulók számára.
Azonban hogyan lehet “jó” problémákat létrehozni?
A “jó” kifejezés alatt gondolkodtató, inspiráló problémákat értek olyan megoldásokkal, amelyek kiterjeszthetők más területekre. Ez felépül az olimpiai problémák szintjére, amelyekre a problémaíróknak figyelemre méltó mértékű találékonyságuk és kreativitásuk van az új problémák kidolgozásában.
Hozzászólások
- Aggódom, hogy ez a kérdés túl tág. Nem ‘ nem azt akarom mondani, hogy ‘ nem tudjuk eldönteni, mi ” ” azt jelenti, matematikai probléma szempontjából. De ez a meghatározás túlságosan erősen függ attól, hogy (i) kinek tervezik a problémát, és (ii) milyen típusú matematikai tartalmat / technikákat kell használniuk. Vagyis egy ” jó ” probléma egy 6. osztályos tanuló számára, amely törtrészeket tanul, nagyon különbözik a ” jó ” probléma annak bemutatására, hogy egy közgazdász hallgató mennyire hasznos a számítás a tudományterületén.
- Egyetértek azzal, hogy a legjobb lenne ez a matematika egyetlen témájára korlátozódik, pl. hogyan lehet jó topológiai problémákat létrehozni.
- Néhány tanáromnak verhetetlen ügyessége volt olyan házi feladatok / vizsgák megírásához, amelyek során sokat tanult a feladatok elvégzésével. Mások csak unalmas problémákat adtak. Az előbbiek általában összességében sokkal nagyobb kihívást jelentettek, még akkor is, ha nem voltak ” nehezebbek ” bármilyen értelemben. Ha átnézi a tankönyvekben javasolt problémákat, akkor ‘ ugyanezt fogja látni. Félek, hogy ‘ attól tartok, hogy ez nagymértékben olyan tehetség, amelyet nehéz átadni.
- Az egyik legnagyobb probléma, amit a korábbi oktatásban tapasztaltam, hogy nem volt adott kontextus az általunk megoldott problémára. Ezek kontextusba helyezése meglehetősen sokat segíthet. Vegyük például egy polinom faktort. Ha az optimalizálás kontextusába helyezi a számításban (egy derivált nulláinak megoldása), akkor nyilvánvalóvá válik a használata. A fejlettebb anyagokban bemutatott szöveges feladatok felhasználása, majd csak arra kérve őket, hogy oldják meg az általuk tanított részt (a fenti példában egy előre kiszámított származékot alkalmazva), ez megfelelő stratégia a problémák megfelelő kontextusban történő bemutatására.
Válasz
Mivel a kérdése nagyon tág, ezért itt egy kissé tág válasz: Olvassa el a probléma feltevését.
Három kulcsfontosságú darab:
Silver, EA (1994). A matematikai problémamegjelenítésről. Matematika tanulásához, 14 (1), 19-28.
és a könyv
Brown, SI, & Walter, MI (2005). A problémamegjelenítés művészete . Psychology Press.
Ez utóbbi egy olyan könyv újranyomtatása, amely először 1983-ban jelent meg. Találhat egy kapcsolódó könyvet is, amelyet Brown és Walter; a legfrissebb verzió idézete:
Brown, SI, & Walter, MI (szerk. ). (2014). Probléma feltevése: Gondolatok és alkalmazások . Psychology Press.
Kezdje ezzel a három dokumentummal, azok hivatkozásaival és (a google tudóson keresve) más, őket idéző cikkekkel és cikkekkel.
Nagyon durván Brown és Walter javaslatának felvázolása: Kezdjen egy matematikai forgatókönyvvel, soroljon fel feltételezéseket, változtassa meg a megszorításokat (kifejezésük szerint: ” Mi lenne, ha not-ing “), majd kérdéseket tesz fel. Akár ” ciklust is folytathat ” ezen a folyamaton keresztül többször is annak érdekében, hogy egyre bonyolultabb problémákat okozzon.
A probléma feltevése természetesen azzal a veszéllyel jár, hogy nem tudja meg a választ arra, amit kérdez.
Például , a kiindulási forgatókönyv használhatja a Pitagorasz-tételt:
Találjon meg minden egész megoldást a $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ fájlhoz.
Ezt a konkrét példát Brown és Walter könyve tárja fel, de számomra ésszerű feltételezésnek tűnik, hogy hogy a kitevő mindenütt $ 2 $ , és egész szám megoldásokat kérni, ha a kitevő $ 3 $ .. .. vagy ha valaki különösebben merésznek érzi magát, akkor általánosítson és kérjen kitevőt $ k \ geq 3 $ .
Ránézésre ez ésszerű kérdésnek tűnhet; de ha ismeri Fermat utolsó tételét, akkor rájön, hogy ez a legtöbb hallgató számára nem megfelelő probléma.
Néhány rövid megjegyzésemet részben megtalálhatja a probléma feltevésével és a kreativitással kapcsolatban. $ 4b $ itt , és még néhány más példa a probléma felvetésével és az intuícióval kapcsolatban a konkrét példa szakasz itt .
Utolsó megjegyzés: Kezdje azzal, hogy megemlíti a ” alapvető A probléma megoldásának ” szerepe a matematika megértésének javításában. Érdemes lehet megjegyezni, hogy a probléma pózolás fontos szerepet játszik a vegye figyelembe Polya heurisztikájának felsorolását, és ezek közül hány kérdés: Mi a kapcsolódó probléma? Mi az egyszerűbb probléma? Hogyan lehet általánosítani ezt a problémát? Stb. (Történelmileg mind Silver, a fent idézett első cikkben, mind Kilpatrick, a probléma megfogalmazás on, nyomon követik ezt a megfigyelést, vagyis, hogy a probléma feltevése a probléma megoldásának szerves része, legalábbis vissza Karl Duncker 1945-ös írása.)
Ahogy Cantor (1867) doktori disszertációjában írta:
„In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”
(„ A matematikában a kérdezés művészete értékesebb, mint a problémák megoldása ”).
Megjegyzések
- Miközben én ‘ rajongok P ó lya ‘ könyv, attól tartok, hogy feltételezi, hogy minden szükséges adatot megad, és csak szükséges adatokat, túlságosan beépítve A ” A valós világ ” problémák nagyrészt azzal kapcsolatosak, hogy mi a releváns és mi nem ‘ t, és a missin összegyűjtése g adatok.
- @vonbrand Amellett, hogy megnézem néhány Polya ‘ későbbi könyvét (poszt- Hogyan lehet megoldani ) I ‘ d a ” valós világ ” problémákra utal, a matematikai modellezés irodalmának vizsgálata. A matematikai modellezés és a matematikaoktatás metszéspontja még mindig eléggé fésülhető; kezdje Pollak ‘ munkájával (releváns: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ), és mozgassa hivatkozásokra …
Válasz
Számomra talán három fő típusú probléma létezik, amelyeket hozzárendelés:
- Rutin készségfejlesztés : vagy egy általam bemutatott számításon alapulnak hasonló megoldott problémák, vagy bizonyítási probléma, amely csak a definíció természetes következménye, kevés extra technikával. Egy igazoló tanfolyam számára sok probléma nem csupán egy felhívás arra, hogy törődjünk azzal, hogy a jelölés valójában mit jelent.
- Szélesség felfedezése : minden kurzuson vannak bizonyos témák, amelyekre nincs elég időnk az előadásokhoz. Nagyon hasznos tapasztalat a hallgatók számára, ha egy rövid problémamodulon keresztül vezetik őket, ahol felfedezik egy olyan téma alapvető jellemzőit, amelyet előadások és egyéb anyagok nem részleteznek.
- Challenge : itt nincsenek sínek, nincs doboz, nincs elvárás, hogy a pályán bárki megoldja. Néha ezeket arra használják, hogy bemutassák a jelenlegi megoldási technikák családjának korlátait a problémák megoldására, néha ezek valamilyen fuzzy intuícióval járnak, ami egy kreatív ugrást irányít.
Gyanítom, hogy a legtöbb probléma, amit írok, és / vagy az 1-es vagy a 2-es osztályba illeszthető, de a hallgatók gyakran vádolnak engem 3-mal. Őszintén szólva, az egyik oka annak, hogy megpróbálok megfelelő mennyiségben szörfözni az MSE-n, az az, hogy felmérem, mit fedeznek le más egyetemek tanfolyamaim. Ezenkívül az MSE nemzetközi íze segít áttekinteni a világon az iskolákban zajló eseményeket.
Megjegyzések
- Kihagyod a mindenkori kedvenc trükk-kérdést, ahol ki kell találnod néhány Rube-Goldberg-féle fordulatot, hogy legyen a probléma megoldásának reménye. A környéken sokakat azzal vádolnak, hogy rejtvényeket követnek el, nem pedig vizsgákat …
- @vonbrand well, ez valószínűleg kihívás alá kerülne. Az ilyen problémák gyakran egy válasszal kezdődnek, némi sötét varázslat fordul elő sorozatokkal, majd megkérik a hallgatót, hogy lásson egy mintát … ha ha ha … gonosz.
Válasz
Két javaslat:
1) Vegyen részt workshopokon és konferenciákon, és keresse meg a problémamegoldó foglalkozásokat vagy az előadókat, akik megosztják “kedvenc problémáikat”.”Ha a problémákat és a megoldásokat megvitatják, egyedi módszerek és megközelítések jelennek meg.
2) Építsen egy könyvtárat és fordítson időt az olvasásra. Gyűjtsön könyveket, pdf-eket és forrásokat. A diákok számára nem megfelelő tankönyv nagyszerű lehet a problémák forrása. (Használja az Amazon és az eBay használatát a sokkal olcsóbb használt verziók megszerzéséhez.) Szükség szerint módosítsa a tankönyv verzióját. A problémák létrehozása során a kreativitás a források lapozgatásából származik.
Megjegyzések
- Nézze meg a matematikaolimpia helyszíneit. Keressen előadási jegyzeteket, (megoldott) vizsgákat, házi feladatokat, … a ‘ net hemzseg ettől a fajtától dolgokból.
Válasz
Nem adott meg konkrét szintet, de szerintem a kérdése érdemben van mindenesetre. K-8 szinten fogom venni. Először az Ön konkrét követelményével szeretnék foglalkozni:
A “jó” kifejezésen gondolkodtató, inspiráló problémákat értek olyan megoldásokkal, amelyek más területekre is kiterjeszthetők.
Az “inspiráló” kifejezést úgy fogom értelmezni, hogy a hallgatóknak motivációja lesz részt venni a probléma matematikájában. A “gondolatébresztő” esetében feltételezem, hogy arra gondolsz, hogy a problémák nagy valószínűséggel megkövetelik, hogy a hallgatók produktív matematikai érvelést folytassanak. Ezek a tantervben végzett jó vizsgálatok alapvető jellemzői. Vagyis egy jó tananyagnak tartalmaznia kell azokat a tevékenységeket és vizsgálatokat, amelyek ezeket kielégítik.
Egyszer megkérdeztem egy jól ismert, magas színvonalú tananyag-fejlesztőt, hogy honnan tudja, hogy tananyagproblémái megfelelnek a “ reális matematikaoktatás “(ez volt az a megközelítés, amely inspirálta a tantervét. Azt válaszolta, hogy a kutatási és fejlesztési folyamat során sokszor valódi hallgatókkal kellett kipróbálniuk az egyes tevékenységeket. az első tervezetek elméleten alapulhattak, a valóságban a kész tananyagot alaposan tesztelték.
Ezért keresse meg és gyűjtse össze a jó tananyag-tervezők által kidolgozott problémákat. Ha szükséges, készítsen saját könyvtárat az ilyen problémákról.
Egy utolsó megjegyzés: azt javasolta, hogy olyan problémákat szeretne, amelyek megoldása más területekre is kiterjeszthető. Azt javaslom, hogy legyen óvatos az ilyen feltételezésekkel a problémák keresése során. Mit értenek meg a probléma feltevése és a megoldás segítheti őket a kapcsolat kialakításában szakaszok közötti összefüggések. A jó matematikaoktatási szakirodalomban azonban nehezen tudja támogatni a “domain átvihető megoldások” fogalmát. Koncentráljon inkább arra, hogy a tanulóknak milyen matematikai gondolkodásmód lesz lehetőségük és forrásaik.