Megpróbálom megérteni, hogyan kell használni, mire van szükség a homogén transzformációs mátrix kiszámításához.
2 pontot ismerek 2 különböző képkockából, és 2 eredetet a megfelelő képkockákból.
Hogy néz ki a transzformációs mátrix, de ami engem megzavar, hogyan kell kiszámítanom a (3×1) pozícióvektort, amelyre a mátrixnak szüksége van. Tudomásom szerint ez a vektor a régi keret eredete az új képkockához képest. De hogyan kell kiszámítani, a kézenfekvő válasz (azt hiszem) az lenne, ha mindkettőt ($ O_ {new} – O_ {old} $) kivonnánk, de ez nem érzi jól magát.
Tudom, hogy ez egy egyszerű kérdés, de a fejem nem tudja kikerülni ezt a problémát, és hogyan tudom igazolni a helyes utat az általam ismert információkkal?
Válasz
Homogén $ H $ transzformációs mátrixot gyakran használnak mátrixként egyik képkockáról a másikra történő átalakítás végrehajtására, az előbbi keretben kifejezve . A transzlációs vektor tehát magában foglalja az utóbbi keret [x, y (, z)] koordinátáit az előbbiben kifejezve. Talán ez már megválaszolja a kérdését, de az alábbiakban egy részletesebb magyarázat található. -D. Ez egy $ R $ rotációs mátrixból és a $ r $ transzlációs vektorból áll. Ha nem engedünk nyírást, a forgásmátrix csak a forgatásról tartalmaz információt, és a $ SO (n) $ ortonormális csoporthoz tartozik. Megvan:
$$ H = \ begin {bmatrix} R & r \\ \ bar {0} & 1 \ end {bmatrix} $$
Adjuk meg a $ H ^ a_b $ transzformációs mátrixot, amely a $ \ Phi_b $ koordináta keretet fejezi ki a $ \ Phi_a $ -ban, a $ \ Phi_a $ -ban kifejezve. A $ \ Phi_a $ lehet az eredete, de lehet más keret is.
Az átalakító mátrix segítségével kifejezhet egy pontot $ p = [p_x \ p_y] ^ \ top $ (vektorok) egy másik keretben: $$ P_a = H ^ a_b \, P_b $$ $$ P_b = H ^ b_c \, P_c $$ with $$ P = \ begin {bmatrix} p \\ 1 \ end {bmatrix} $$ The A legjobb az, hogy az alábbiak szerint rakhatja össze őket: $$ P_a = H ^ a_b H ^ b_c \, P_c = H ^ a_c \, P_c $$ Itt egy kis 2 D példa. Tekintsünk egy keretet $ \ Phi_b $ lefordítva $ [ 3 \ 2] ^ \ top $ és $ 90 ^ \ circ $ fokot forgatott a $ \ Phi_a $ vonatkozásában. $$ H ^ a_b = \ begin {bmatrix} \ cos (90 ^ \ circ) & – \ sin (90 ^ \ circ) & 3 \\ sin (90 ^ \ circ) & \ cos (90 ^ \ circ) & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ Egy pont $ p_b = [3 \ 4] ^ \ top $ a $ \ Phi_b $ keretben kifejezve $ $ \ begin {bmatrix} p_ {a, x} \\ p_ {a, y} \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \ end {bmatrix} \ to p_a = \ begin {bmatrix} -1 \\ 5 \ end {bmatrix} $$ Próbálja meg megrajzolni a megértését.