A kérdésem az, hogy hogyan lehet kiszámolni a $ \ beta $ II típusú hibát?
-
Tegyük fel, hogy tesztelni szeretnék $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (ki kell számolnom a $ \ beta $ II típusú hibát, ezért ki kell javítanom egy $ \ mu $ -ot, mondjuk 1-et $ H_1 $-ban).
-
Tegyük fel, hogy a $ H_0 $ elosztása $ F_0 $, $ H_1 $ pedig $ F_1 $, ahol $ E [\ xi] = 0 $, ha $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $, ha $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Most létrehozok egy becslőt a $ \ mu $ számára, mondjuk $ \ bar {X} _n $, és egy tesztstatisztikát $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (tegyük fel, hogy $ \ sigma $ ismert).
-
Most létrehozok egy elutasítási ($ H_0 $) szabályt: $ S_n > b $.
-
A II. típusú hiba kiszámítása $ P_ {F_1} (S_n > b) $
A kérdéseim a következők: (három dolgot akarsz ellenőrizni):
-
A fenti konstrukciós logika helyes, igaz?
-
A “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” eloszlása $ F_1 $, igaz?
-
[a legjobban érdekli] A $ S_n $ a következőben: “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” $ F_0 $ -ot kell használnia a kiszámításához, nem igaz?
-
Úgy értem, függetlenül az általam kiszámított I. vagy II. típusú hibától, mindig a $ F_0 $ értéket kell használnom a tesztstatisztikák kiszámításához, igaz?
-
Úgy értem, a $ S_n $ mindig $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ az I vagy II típusú hibakalkulációban nem $ $ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ a $ \ beta $ kiszámításában, igaz?
-
Vagy, ez nem okozhat problémát, mert a tesztstatisztika csak a minta függvénye, és nem tartalmazhat paramétereket?
-
Megjegyzések
- A II. típusú hiba nem a nullhipotézis elutasítását jelenti, ha hamis, azaz a $ H_1 $ igaz. Szerintem a $ F_1 $ értéket kell használnia a P kiszámításához, de nem a $ F_0 $ értéket, mivel megírta a $ P_ {F_1} (S_n > b) $ értéket. Hivatkozhat továbbá a teljesítmény kiszámítására, amely a $ H_1 $ paraméteren alapul, és a II. Típusú $ \ beta $ = 1-power
- köszönöm Igazad van. Hibáztam. $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ a II-es típusú hibáért.
Válasz
Jelölje $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ legyen az eloszlás a nullhipotézis alatt, az $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ alatt $ H_1 $, tehát van egy $ X $ tesztstatisztikád, és tesztelni akarod
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ kontra $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Ahogy leírja, egyoldalú tesztet szeretne végrehajtani, és a jobb farokban meghatározza a kritikus régiót. Tehát miután kiválasztotta a $ \ alpha $ megbízhatósági szintet, a $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ elosztást használja a $ q_ kvantilis érték megkeresésére. {\ alpha} ^ {(0)} $, hogy $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (folyamatos eloszlást feltételezek). A $ (0) $ szuperindex azt jelzi, hogy a valószínűségeket $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, alatt mérik, tehát a $ \ mathcal {null eloszlásra van szükség. F} ^ {(0)} $ a kritikus régió, azaz a $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ kvantilis meghatározásához.
Egy mintából megfigyelheti az $ X $ eredményt az $ X $ véletlen változóra, és a null elutasításra kerül, ha $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Más szavakkal, a teszt eldönti, hogy $ H_1 \ textrm {igaznak döntött} \ iff x \ itt: [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
A teszt ereje annak a valószínűsége, hogy a $ H_1 $ igaznak minősül amikor $ H_1 $ igaz , tehát a hatvány annak a valószínűsége, hogy $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, valahányszor $ H_1 $ igaz, ez a annak valószínűsége, hogy $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, ha a valós eloszlás $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ vagy a $ \ mathcal {P} $ hatvány értéke
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Ahol a $ (1) $ szuperindex azt jelzi, hogy a valószínűségeket a $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ alatt kell kiszámítani Tehát a teljesítményt $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ értékkel mérjük, de szüksége van a $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ értékre, amelyet a $ \ mathcal {F} ^ {értékkel számolunk. (0)} $.
A $ \ mathcal {P} $ energiát használtam, és a $ \ beta $ II típusú hiba $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
A te esetedben
Igazad van, amikor azt mondod, hogy “” A disztribúció a “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “is $ F_1 $” “
A $ b $ megtalálásához azonban a $ F_0 $ értéket kell használnia. Valójában a $ b $ a $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $
analógja