Hogyan lehet kiszámítani a hcp rács magasságát?

Megpróbáljuk a hcp és a ccp közötti hasonlóságot felhasználni. Itt tudjuk, hogy a $ hcp $ és a $ ccp $ hasonló rácsos, kivéve azt a tényt, hogy a $ hcp $ ABAB típusú, míg a $ ccp $ ABCABC típusú. Ezért azt is tudjuk, hogy a $ (\ phi) $ csomagolási törzsük megegyezik és $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Most, ahogy említetted, a hcp rács térfogata $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Összesen 6 atom van hcp-ben. Ezért $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Ennek egyszerűsítésével megkapjuk a hcp rács magasságát $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Megjegyzések

• Megállapítjuk, hogy a csomagolásuk frakciója megegyezik a térfogat magasságból történő értékelése után, stb. Válasza visszafelé működik.

Az egységcella magasságának kiszámításához vegye figyelembe a tetraéderes ürességet hatszögletű zárt csomagolási elrendezésben. El lehet képzelni, hogy 3 szilárd gömb érinti egymást, és a középpontban egy másik gömb van egymásra rakva. Egy interaktív változat megtekinthető ezen a webhelyen . A helyzet így néz ki:

Ha csatlakozik a négy gömb középpontjához, tetraédert kap. Ez alapvetően egy háromszög alapú piramis. Feltételezem, hogy tetraéderünk minden éle je megegyezik a $ a $ értékkel.

Most már van egy piramisa ($ ABCD $), egyenlő oldalú bázissal ($ \ Delta BCD $), szeretném, ha egy merőlegest ejtene a legmagasabb ponttól ($ A $) a középső ($ G $) háromszög alapig. Ha jól követi, akkor lesz egy ilyen ábrája:

Mindössze annyit kell tennünk Ehhez egyszerűen számítsa ki az $ AG $ hosszúságot. Ehhez egyszerűen használja a Pythagorasz-tételt a $ \ Delta AGD $ mezőben.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Bár tudjuk, hogy $ AD = a $, a $ GD $ oldala megmarad ismeretlen. De ezt könnyű kiszámítani. A $ G $ pont a $ \ Delta BCD $ centroidja. Így a $ GD $ hossza megegyezik $ a / \ sqrt {3} $ értékkel. Ha beillesztjük az első egyenletünkben szereplő értékeket, megkapjuk az $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ értéket. De vegye figyelembe, hogy ez fele az egységcellánk magasságának. Így a szükséges magasság $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

A hatszögletben legközelebb csomagolt struktúrában $ a = b = 2r $ és $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , ahol $ r $ az atom atomsugara. Az egységcella oldalai merőlegesek az alapra, így $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Legközelebb -csomagolt szerkezet, az egységcella tövének sarkaiban lévő atomok érintkeznek, így $ a = b = 2 r $ . Az egységcella magassága ( $ c $ ), amelynek kiszámítása nagyobb kihívást jelent, $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Legyen egyenlő a hatszög alapszéle $ a $

És a hatszög magassága egyenlő $ h $

És a gömb sugara megegyezik $ r $

Az első réteg középső gömbje pontosan a 2. B üreg felett helyezkedik el.

A középső gömb és a B 2. réteg gömbjei kapcsolatban vannak

Tehát, a $ \ Delta PQR $ ( egyenlő oldalú háromszög):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ érintő a pontokon

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ QRS szög = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Ezért a hcp arr csomagolási hatékonyságának kiszámításakor Az egységcella magasságát $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ értéknek vesszük.

FROM

Megjegyzések

• Mit jelent a pontok háromszöge?
• Hogyan jön a QRS szög 30 fokos?