Szeretném megtanulni, hogyan kell kiszámítani egy folyamatos véletlenszerű változó várható értékét. Úgy tűnik, hogy a várható érték $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$ ahol $ f (x) $ a valószínűségi sűrűség függvény . Tegyük fel, hogy a $ X $ valószínűségi sűrűségfüggvénye $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$, amely a normál normál eloszlás sűrűsége.
Tehát először bedugom a PDF-et, és megkapom az $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $ $ amely egy meglehetősen rendetlen megjelenésű egyenlet. A konstans $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ áthelyezhető az integrálon kívülre, így $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Itt ragadok. Hogyan számolhatom az integrált? Helyesen csinálom ezt idáig? A várt érték megszerzésének legegyszerűbb módja?
Megjegyzések
- a kérdés címe félrevezető. Valójában egy normál véletlenszerű változó várható értékét próbálja kiszámolni. Kiszámíthatja egy lakóautó függvényének várható értékét is. Inkább a következő címet adnám be: ” Hogyan lehet kiszámítani egy szokásos normál eloszlás várható értékét. ” Vagy ” Hogyan számíthatjuk ki a folytonos véletlenszerű változó várható értékét? ”
- @Gu ð mundurEinarsson javítva.
- ” Itt ragadok. Hogyan számíthatom az integrált? ” Keresse meg az $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $ deriváltját. (Nem, nem vagyok furcsa és felesleges elfoglaltságot javasolok neked; halálosan komolyan gondolkodom; Csak tedd meg!). Ezután bámulja nagyon erősen a talált származékot.
Válasz
Már majdnem ott vagy, kövesd az utolsó lépés:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ közepén _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Vagy közvetlenül felhasználhatja azt a tényt is, hogy $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ páratlan függvény, és az integrál határa a szimmetria.
Megjegyzések
- A szimmetria argumentum csak akkor működik, ha mindkét fél maga konvergens.
- Meg tudná magyarázni, mi történik a második sorban?
- Glen ‘ megjegyzése helyes, ha nem konvergens, akkor a változóváltozás nem fog működni
- A második sor megegyezik az első sorral, mivel $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ szintén az elején megjegyzi a negatív előjelet. Ezután gondolkodhat a változó változtatásáról az integrációhoz, majd visszaváltoztatod, mivel a korlátok nem változtak. Vagy használhatja az integrációt alkatrészenként. És ne feledje, hogy $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- A szimmetria használatához az átlag eléréséhez tudnia kell, hogy $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ konvergál – erre az esetre igen, de általában ‘ nem vállalhatja. Például a szimmetria argumentuma azt mondaná, hogy a standard Cauchy átlaga 0, de nincs ‘ ez.
Válasz
Mivel meg szeretné tanulni az elvárások kiszámításának módszereit, és néhány egyszerű módszert szeretne ismerni, élvezni fogja a pillanatgeneráló funkció (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
A módszer működik különösen jól, ha az eloszlásfüggvényt vagy annak sűrűségét maguk adják meg exponenciálisan. Ebben az esetben nem kell semmilyen integrációt elvégeznie, miután megfigyelte
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
mert a normál sűrűségfüggvény $ x $ -ra írása $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (állandó $ C $ esetén, amelynek értékét nem kell tudni), ez lehetővé teszi az mgf átírását
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Jobb oldalon, követve a $ e ^ {t ^ 2/2} $ kifejezés, akkor felismeri a Normal eloszlás teljes valószínűségének integrálját, átlagos $ t $ -val és egységnyi szórással, ami tehát $ 1 $. Következésképpen
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Mivel a normál sűrűség ilyen gyorsan nagy méretűvé válik, a $ t $ értékétől függetlenül nincsenek konvergenciaproblémák. A $ \ phi $ felismerhetően analitikus a $ 0 $ értéken, vagyis megegyezik a MacLaurin sorozatával. ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
Mivel azonban a $ e ^ {tX} $ abszolút konvergál a $ tX $ összes értékéhez, írhatunk
$$ E [e ^ {tX}] is = E \ bal [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Két konvergens hatványsor csak akkor lehet egyenlő, ha kifejezésenként megegyezik, honnan (összehasonlítva a $ t ^ {2k} = t ^ n $ kifejezéseket)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
implicit
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(és a $ X $ páratlan hatványokra vonatkozó összes elvárás nulla). Gyakorlatilag semmilyen erőfeszítés nélkül megkapta a $ X $ összes pozitív integrálhatásának elvárásait egyszerre.
Ennek a technikának a variációi bizonyos esetekben ugyanolyan jól működhetnek, mint például az $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, feltéve, hogy a $ X $ tartománya megfelelően korlátozott. Az mgf (és közeli rokona a karakterisztikus függvény $ E [e ^ {itX}] $) annyira általában hasznosak, hogy az elosztási tulajdonságok táblázataiban találja meg őket, például a Wikipedia bejegyzés a Normal eloszlásról .