Keresse meg h [n] a DTFT tulajdonságok használatával

Míg ez a felvételi házi feladata (és meglehetősen alap), “harapok. Idézd fel a DTFT definícióját:

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

És idézze fel a $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

ahol $ x [n ] $ a rendszer bemenete, és $ y [n] $ a kimenete. Kombinálja ezt a két egyenletet:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Most hajtsa végre az inverz DTFT-t az egyenlet mindkét oldalán. Definíció szerint a $ X (\ omega) $ és $ x [n] $ egy transzformációs pár; hasonlóan a $ Y (\ omega) $ és $ y [n] $ esetében. A másik két kifejezésnél idézzük fel a DTFT időeltolás tulajdonságát :

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

ami a DFT definíciójából könnyen megmutatható. Ezzel a tulajdonsággal az inverz egyenlet átalakul a rendszer különbségegyenlet specifikációjává:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Ez a rekurzív szűrő definíciója, amelyek általában IIR; ez a helyzet. Az impulzusválasz megkönnyítése; hagyja, hogy $ x [n] = \ delta [n] $, és találja meg, hogy a rendszer kimenete:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

A fentieket $ a = 0,99 $ értékre tervezzük. Meg kell jegyezni, hogy a rendszer csak $ | a | \ le1 $ esetén stabil.

Megjegyzések

• I ' próbáltuk kiszámolni az impulzus választ, de összekuszálódott. Meg tudná mutatni, hogy ' hogyan sikerült? köszönöm.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {esetben} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {esetben} \ end {align *} $$ Mivel az impulzus válasz $ \ infty $ -ig terjed, ez egy IIR szűrő. JasonR válaszában kijelenti, hogy a szűrő stabil csak akkor, ha $ | a | < 1 $. Valójában a szűrő stabil, amikor $ | a | \ leq 1 $, és csak $ | a | esetén instabil > 1 $. Amikor azonban $ | a | = 1 $, a $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $ geometriai képletből azt a $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ egy (stabil) FIR szűrő átviteli függvénye, amely rövid távú integrátorként írható le vagy rövid távú átlagoló ($ 4 $ nyereséggel).

Megjegyzések

• Szép alternatív levezetés. Válaszomban is rögzítettem a stabilitással kapcsolatos állításomat.