Ha a Van der Waals-egyenletben figyelembe vesszük a kizárt térfogatot, akkor feltételezzük, hogy a molekulák kemény gömbök és átmérőjűek. Ha egy V térfogatú kockát vesszük figyelembe, akkor azt mondhatjuk, hogy ennek a kockának az oldala $ V ^ {1/3} $ hosszúságú. Tekintsük a molekulák átmérőjét $ \ sigma $ -nak. Tegyük fel, hogy ebben a mezőben a molekulák száma $ N $. Ha $ N-1 $ molekulákat rögzítünk a pozícióikban, és a kizárt térfogatot a $ N ^ {th} $ szemszögéből nézzük! molekula, azt látjuk, hogy ennek a molekulának a közepe csak a kocka falához közelíthet meg $ \ sigma / 2 $ távolságot, és megközelítheti a lehorgonyzott molekulákat a $ \ sigma $ távolságig a központjaiktól, amint az látható: 
.
Ekkor ennek a molekulának a kizárt térfogata $ V_ {ex} = (V ^ {1/3} – \ sigma) ^ {3} legyen. – (N-1) (\ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ {3}) $. Ez akkor is következik, ha bármilyen más molekulát figyelembe veszünk, és a többit lehorgonyozzuk. De a wikipédia szerint túlszámlálnánk. Nem tudom, hogyan. A helyes kifejezés legyen $ V_ {ex} = (V ^ {1/3} – \ sigma) ^ {3} – (N / 2) (\ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ {3}) $. Tud valaki magyarázatot adni?
Válasz
Amint az a $ 4 wikipédia oldalon szerepel \ szorzat \ frac {4 \ pi r ^ 3} {3} $ a részecskénként kizárt térfogat, ezért össze kell adni az összes részecskét és el kell osztani a részecskék számával. Összegzés közben el kell osztani 2-vel, mert egy pár részecskék csak egyszer járulnak hozzá a kizárt mennyiséghez.
Megjegyzések
- A helyzet az, hogy nem ' Nem látom, hogy túlszámlálom vagy fontolóra veszem egy részecskepár hozzájárulását abban a megközelítésben, hogy a $ N-1 $ molekulákat lehorgonyozom, majd megnézem a $ N ^ {th} $ molekulával bejövő térfogatot.
- @ColorlessPhoton: Nem található egy adott részecske kizárt térfogata. A molekulák kemény szféraként való közelítésének csak akkor van értelme, ha minden interakciót figyelembe vesz. Csak a kizárt térfogat van értelme az egész edénynek és annak részecskéinek. Ha N-vel merül, akkor nem egy részecske kizárt térfogatát találja meg, hanem egy részecskénként a kizárt térfogatot.
Válasz
A (z) Hiemenz és Rajagopalan kolloid és felszíni kémia elveiből (ha hibaüzenetet kap a könyv kért oldalának megtekintésével kapcsolatban, próbálja meg frissíteni):
A tényleges kizárt kötet atomonként, $ b “$ ( $ b $ , a mólra számított kizárt mennyiség megegyezik a $ N_A b” $ értékkel, a $ N_A $ az Avogadro-szám) azonban kisebb, mint a $ \ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ 3 $ mivel a fentiek szerint kiszámított atom mennyisége átfedhet más atomok térfogatával. Ezért a $ b $ kifejezés megszerzéséhez meg kell szoroznunk a fentieket érték $ N alapján $ (mivel $ N $ atom van a kötetben), vegye felét, mert különben " dupla számlálás " a kizárt köteteket, és ossza fel $ N $ -kal, hogy atomonként kizárt mennyiséget kapjon, vagyis
$$ b “= \ frac {4} {3} \ pi \ sigma ^ 3 \ cdot \ frac {N} {2} \ cdot \ frac {1} {N} = \ frac {2} {3} \ pi \ sigma ^ 3 $$
A felosztás oka 2 helyett más konstans még mindig kissé nem világos, de az átfedés magyarázata legalább azt mutatja, hogy a $ N $ szorzata egy $ \ sigma $ túlszámlálás lenne.