A legtöbben hallottak Einstein csodálatos egyenleteiről, amelyek leírják a körülöttünk lévő univerzumot, mégis csak néhányan értjük, mit is mondanak az egyenletek.

Mit mondanak valójában ezek az egyenletek, és van-e egyszerű (viszonylag) módja ezek levezetésére?

Itt vannak, a Wikipédia :

$$ R _ {\ mu \ nu} – \ dfrac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} R + g_ { \ mu \ nu} \ Lambda = \ dfrac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $$

Homályos fogalmam van arról, hogy mi a tenzor (leírja) a tömb és a magasabb rendek összetettebb átalakulásokat határoznak meg), de nem értem, hogy ezek a tenzorok mit csinálnak. És miért van $ c ^ {4} $ az egyenletben !?

Hozzászólások

Válasz

Einstein egyenletei lazán összefoglalhatók, mint az anyag és a téridő geometriájának fő kapcsolata . Megpróbálok kvalitatív leírást adni arról, amit az egyenletben szereplő minden kifejezés jelent. Mindazonáltal figyelmeztetnem kell a potenciális olvasókat, hogy ez nem rövid válasz lesz. tartózkodjon az egyenletek ” elemi ” módon történő levezetésének próbálkozásától, amiről biztosan nem tudok.

Anyag

Az equa jobb oldalán A legfontosabb az energia-lendület tenzor megjelenése $ T _ {\ mu \ nu} $ . Pontosan kódolja, hogy az anyag — tág értelemben értendő-e, vagyis bármilyen energiát (vagy tömeget, lendületet vagy nyomást) hordozó közeg — hogyan oszlik el az univerzumban. A $ T $ index indexeinek értelmezéséhez lásd az alábbi metrikus tenzor magyarázatát.

Megszorozza néhány alapvető természetállandók $ \ Big ($ a $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big faktor ) $ , de ennek nincs döntő jelentősége: úgy tekinthetünk rájuk, mint egy könyvelési eszközre, amely nyomon követi az egyenlet által összefüggő mennyiségek egységeit. Valójában a hivatásos fizikusok általában megengedik a szabadságot a mérési egységek újradefiniálása annak érdekében, hogy a kifejezéseink megjelenése egyszerűbbé váljon azáltal, hogy megszabadulunk az ilyen bosszantó konstansoktól. Az egyik konkrét lehetőség a ” csökkentett Planck-egységek “, amelyben $ 8 \ pi G = 1 $ és $ c = 1 $ , így a tényező $ 1 $ lesz.

g differenciál eometria

Einstein egyenleteinek bal oldalán találunk néhány különböző kifejezést, amelyek együttesen leírják a téridő geometriáját. Az általános relativitáselmélet egy olyan elmélet, amely a (fél) Riemann-geometria néven ismert matematikai keretet használja. A matematika ezen ágában egy bizonyos értelemben sima és egy mutatóval rendelkező tereket vizsgálunk. Először próbáljuk megérteni, hogy ez a két dolog mit jelent. . Képzelje el például egy idealizált futball felületét, vagyis egy 2 gömböt. Most, ha valaki egy nagyon kis felületfoltra irányítja a figyelmet (tartsa a labdát a saját arcánál), úgy tűnik, hogy a labda jóformán lapos. Azonban nyilvánvalóan nem globálisan lapos. A matematikai szigor figyelembevétele nélkül azt mondhatjuk, hogy azok a terek, amelyeknek ez a tulajdonsága, hogy lokálisan síknak tűnnek, bizonyos értelemben sima k. Matematikailag az ember sokaságoknak hívja őket. Természetesen egy globálisan sík felület, például egy végtelen papírlap a legegyszerűbb példa egy ilyen térre.

Riemann-i geometriában (és differenciálgeometriában általánosabban) egy tetszőleges dimenziós sima tereket (sokaságokat) vizsgálunk. Fontos észrevenni, hogy tanulmányozhatók anélkül, hogy elképzelnénk őket egy magasabb dimenziós térbe való beágyazásról, vagyis a futballnál használható képi megjelenítés vagy bármilyen más utalás nélkül lehet, hogy nem ” a ” magán kívül van.Az egyik azt mondja, hogy tanulmányozhatja őket és geometriájukat önmagában .

A metrika

Ha a sokaságok geometriájának belső tanulmányozásáról van szó, akkor a fő a vizsgálat tárgya a metrika (tenzor). A fizikusok általában $ g _ {\ mu \ nu} $ -val jelölik. Bizonyos értelemben ez felajánl bennünket a távolság fogalmával a sokaságon. Vegyünk egy metrikus kétdimenziós elosztót, és tegyünk rá egy ” koordinátarácsot “, azaz rendeljünk mindegyik ponthoz kettőből álló készletet számok, $ (x, y) $ . Ezután a mutató egy $ 2 \ szor 2 $ mátrixként tekinthető meg, a $ 2 ^ 2 = 4 $ bejegyzés. Ezeket a bejegyzéseket a $ \ mu, \ nu $ előfizetők címkézik, amelyek mindegyike felvehető egyenlő $ x $ vagy $ y $ . A metrika ekkor egyszerűen csak egy tömb számként értelmezhető:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

nekünk is mondjuk, hogy a mutató úgy van megadva, hogy $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , vagyis szimmetrikus az indexeihez képest. Ez azt jelenti, hogy példánkban a $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Most vegyünk fontolóra két közeli pontot, úgy hogy a kettő közötti koordináták közötti különbség $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Ezt rövidítéssel jelölhetjük $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ ahol $ \ mu $ vagy $ x $ vagy $ y \;, $ és $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ és $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Ezután meghatározzuk a két pont közötti távolság négyzetét, az úgynevezett $ \ mathrm {d} s \;, $ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Ahhoz, hogy képet kapjunk a gyakorlatban való működéséről, nézzünk meg egy végtelen kettő- dimenziós sík tér (azaz a fent említett papírlap), két ” szabványos ” síkkoordinátával $ x, y $ négyzetrács határozta meg rajta. Ezután mindannyian Pythagoras “tételéből tudjuk, hogy

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Ez azt mutatja, hogy ebben az esetben a sík kétdimenziós tér természetes mutatóját a

$ adja meg $ g _ {\ mu \ nu} = \ elején {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Most, hogy tudtuk, hogyan kell ” mérni a ” távolságot a közeli pontok között , használhatunk egy tipikus technikát az alapfizikától, és integrálhatunk kis szegmenseket a további eltávolított pontok közötti távolság megszerzéséhez:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

A ge A magasabb dimenziókba történő beillesztés egyszerű.

Görbületfeszítők

Amint a fentiekben megpróbáltam érvelni, a metrikus tenzor meghatározza sokaságunk geometriáját (vagy fizikai esetben téridő) . Különösen képesnek kell lennünk kivonni belőle az összes lényeges információt a sokaság görbületéről. Ez a Riemann (görbület) tenzor $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ szerkesztésével történik a nu \ rho \ sigma} $ , amely egy nagyon bonyolult objektum, amelyet a metrika tömbvizualizációjával analóg módon négydimenziós tömbnek lehet tekinteni, és minden index képes $ N $ értékek, ha vannak $ N $ koordináták $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ a gyűjtőcsatornán (azaz ha $ N $ -dimenziós szóközzel állunk szemben). Pusztán a metrika szempontjából bonyolult módon van meghatározva, ami egyelőre nem túl fontos. Ez a tenzor nagyjából minden információt tartalmaz a sokaság görbületéről – és sokkal többet, mint amilyen minket, fizikusokat általában érdekel. Néha azonban hasznos alaposan megnézni a Riemann-tenzort, ha valaki valóban tudni akarja, mi folyik itt.Például egy mindenhol eltűnő Riemann-tenzor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantálja hogy a téridő lapos. Az egyik híres eset, amikor egy ilyen dolog hasznos, az a Schwarzschild metrika , amely egy fekete lyukat ír le, amely a Schwarzschild sugárban egyedülállónak tűnik $ r = r_s \ neq 0 $ . A Riemann-tenzor vizsgálatakor nyilvánvalóvá válik, hogy a görbület itt véges, tehát id = “984130ffe1”>

valós elyett koordináta szingularitásról van szó. div id = “984130ffe1”> gravitációs szingularitás.

A ” bizonyos részei ” A Riemann-tenzort elvethetjük az abban található információk egy részét, cserébe csak egy egyszerűbb objektummal, a Ricci-tenzorral kell foglalkoznunk:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Ez az egyik tenzor, amely megjelenik az Einstein mezőegyenleteiben. az egyenletek második kifejezésében szerepel a Ricci skalár $ R $ , amelyet az ismét szerződés ( divatos szó a ” kifejezéshez, amely egyes indexek összes lehetséges indexértékét összegezi “) a Ricci tenzort, ezúttal a inverz metrika $ g ^ {\ mu \ nu} $ , amely a szokásos metrikából az egyenlet alapján szerkeszthető

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ szöveg {if} \ mu = \ rho \ \ text {és} 0 \ \ text {egyébként} $$

Ahogy ígértük, a Ricci-skalár a Ricci-tenzor és az inverz összehúzódása mutató:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Természetesen a Ricci skalár ismét kevesebb információt tartalmaz, mint a Ricci tenzor, de még könnyebben kezelhető . Egyszerűen szorozza meg a $ értékkel A g _ {\ mu \ nu} $ ismét kétdimenziós tömböt eredményez, akárcsak a $ R _ {\ mu \ nu} $ és a $ T _ {\ mu \ nu} $ vannak. Az Einstein mezőegyenletekben megjelenő görbületi tenzorok bizonyos kombinációja Einstein tenzor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

A kozmológiai állandó

Van egy kifejezés, amelyet eddig kihagytunk: a kozmológiai állandó kifejezés $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Ahogy a neve is sugallja, a $ \ Lambda $ egyszerűen konstans, amely megsokszorozza a mutatót. Ez a kifejezés néha az egyenlet másik oldalára kerül, mivel a $ \ Lambda $ valamiféle ” az univerzum energiatartalma “, amely megfelelőbben csoportosítható az anyag többi részével, amelyet a $ T _ {\ mu kódol \ nu} $ .

A kozmológiai állandó elsősorban azért érdekes, mert lehetséges magyarázatot ad a (nem) híres sötét energiára , amely bizonyosnak tűnik fontos kozmológiai megfigyelések. Az, hogy a kozmológiai állandó valóban nem nulla-e univerzumunkban, nyitott kérdés, ahogyan azt az értékmegfigyelések is magyarázzák (az úgynevezett kozmológiai állandó probléma aka ” az elméleti fizika valaha volt legrosszabb jóslata “, az egyik személyes érdekem).

PS. Amint a megjegyzésekben rámutattak, ha tetszett, akkor is élvezheti ezt a kérdést és a rá adott válaszokat, amelyek az a másik az általános relativitáselmélet fontos egyenlete, amely a ” tesztrészecskék ” mozgását írja le ívelt téridőkben.

Válasz

Einstein egyenlete az anyagtartalmat (az egyenlet jobb oldala) a geometriához (bal oldal) kapcsolja Összefoglalható a következővel: “A tömeg geometriát hoz létre, és a geometria tömegként működik”.

További részletekért vegyük fontolóra, mi is a tenzor. A kétindexes tenzor (ami megvan az Einstein-egyenletben) olyan térképnek tekinthető, amely egy vektorot egy másik vektorba visz. Például a feszültség-energia tenzor egy pozícióvektort vesz fel és egy impulzusvektort ad vissza (matematikailag $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, és én mindenütt összekeverem a vektorokat és a társvektorokat a vita egyszerűsítése érdekében). Az értelmezés szerint Einstein egyenletének jobb oldala megadja nekünk azt a lendületet, amely a pozícióvektor által meghatározott felületen halad át.

A bal oldal is így értelmezhető. A Ricci görbülete $ R _ {\ mu \ nu} $ vesz egy pozícióvektort, és visszaad egy vektort, amely megmondja, hogy a görbület mennyire változik a $ \ vec {x} $ által definiált felületen keresztül. A második és a harmadik kifejezés, amelyek mind a $ g _ {\ mu \ nu} $ mutatóval rendelkeznek, megmondják, hogy mekkora távolságmérések változnak, amikor a vektor mentén haladunk. A távolságváltozásnak két oka van – a skaláris görbület $ R $ és a $ \ Lambda $. Ha $ R _ {\ mu \ nu} $ “görbület egyetlen irányban”, akkor a $ R $ a “teljes görbület”. A $ \ Lambda $ konstans, amely megmondja, hogy mennyi veleszületett energiája van az üres térnek, így minden távolság nagyobb lesz a $ \ Lambda > 0 $ értékre.

Tehát A jobbra-balra egyenletet olvasva az “Einstein” -egyenlet elmondja, hogy a lendület (mozgó tömeg) mind a görbületet, mind a távolságok mérésének változását okozza. “Balról jobbra olvasva az” Einstein “-egyenlet azt mondja nekünk, hogy a görbület és a változó a távolság ugyanúgy működik, mint a mozgó tömeg. “

Megjegyzések

Válasz

Az Einstein-mezői egyenletek (EFE) levezetése lépésről lépésre a blogomon: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Az EFE jelentése (írta Wheeler): “A tér-idő megmondja az anyagnak, hogyan kell mozogni, az anyag-energia megmondja a tér-időnek, hogy hogyan kell görbülni”

Egyszerű szavak az EFE-hez: “Geometry” = “Görbület” (az általános relativitáselméletben nincs torzió, ami azt jelenti, hogy az energia-impulzus szimmetrikus, mivel a metrikus, Ricci-tenzor és az Einstein-tenzor esetében van).

Komolyabb jelentés a következő:

-balkezes oldal: Az Einstein-tenzor két (három, ha a kozmológiai kifejezést számoljuk) darabból áll. Megmérik azt a görbületet, amelyet a helyi téridő metrika nem állandó (a Minkowski-metrika sík tér-idő, a bekapcsolt gravitáció azt jelenti, hogy a metrika mező, azaz a helyi tér-idő koordinátáktól függ), és ez helyi görbületet jelent. a görbületi skalárral és a Ricci-tenzorral mérve, amelyek Einstein (és Hilbert) módjára kombinálva, divergens áramot biztosítanak (vagyis az energia-lendület megőrzését a jobb oldalra egyenlőséggel megegyezik).

-Jobbkezes oldal: a mezők energia-lendülete, ami a téridő vetemedését okozza / görbe / hajlítás. Ehhez az oldalhoz hozzáadhatja a kozmológiai kifejezést, amelyet aztán sötét energiának neveznek … Ez azt eredményezi, hogy a sötét energia valahogyan (bizonyos gondossággal) a vákuum téridő energiája. És úgy gondoljuk, hogy nem csak nulla, hanem a fő kozmikus összetevő, amely jelenleg az anyag-energiát hozza létre (úgy tűnik, a WMAP + PLANCK műholdak körülbelül 70% -a ezzel egyetért …).

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük