Mondjuk azt, hogy valahogy 100 USD (1- \ alfa) \% $ megbízhatósági intervallum a populáció átlagának $ \ mu $ az úgynevezett $ (a, b) $ és a minták száma a $ n $ . Lehetséges-e ezekből az információkból következtetni a populáció átlagának és a szórás szórásának pontbecslésére? Ebben az esetben feltételezhető, hogy a populáció normális eloszlást követ.
Az egyik elképzelés az, hogy mivel a populáció átlagának konfidenciaintervalluma kiszámítható, ha ismerjük a minta átlagot $ \ overline {x} $ és a populáció szórását $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , mi beállíthat $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ és a $ megoldás \ overline {x} $ és $ \ sigma $ . Természetesen ebben az esetben a $ \ overline {x} $ kezelhető a populáció átlagának becsült pontjaként. Mi a helyzet azonban a $ \ sigma ^ {2} $ -val? Ez “igazi” populációs variancia, vagy ez csak a populáció szórásának “pontbecslése”? Nagyon zavart vagyok abban, hogy a $ \ sigma ^ {2} $ hogyan értelmezendő ebben az esetben.
Válasz
Levezetheti a $ \ bar {x} $ és $ \ sigma ^ 2 $ , amely létrehozta ezt a bizalmi intervallumot, igen. A minta méretének és a $ \ alpha $ -szint ismerete azonban kritikus fontosságú, és ezen információk nélkül nem tudja megoldani a problémát.
A z- alapú konfidenciaintervallum egy ismert varianciát jelent, amelyet a konfidenciaintervallum kiszámításához használnak, így amikor a szélességet használja a variancia megoldására, akkor a valódi variancia megoldására $ \ sigma ^ 2 $ , nem pedig becslés $ s ^ 2 $ . Ha a konfidenciaintervallum t-alapú, akkor a $ s ^ 2 $ elemet oldaná meg.
A z-alapú megbízhatóság szélessége az intervallum nem függ az adatoktól, mivel ismeri a populációs varianciát. Ha ismer egy paramétert, akkor ne fáradjon megbecsülni.
Megjegyzések
- Ha jól értettem, a válasz attól függ, hogy a konfidencia intervallumot z-alapú módszerrel vagy t-alapú módszerrel származtattuk. Köszönjük válaszát.
- Ezzel kiderül, miért használunk z-alapú és t-alapú megbízhatósági intervallumokat. Ha ismerjük a populációvariációt, nem fogunk ' zavarni a t-alapú konfidencia intervallumokkal, és a z-alapú intervallum szélességét $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Amikor nem ' nem ismerjük a populáció szórását (nagyjából mindig), akkor a populáció szórását $ s ^ 2 $ -kal becsüljük meg, és t alapú konfidencia intervallumokat használunk a a becslés körüli bizonytalanság (azaz annak a ténynek a figyelembe vétele, hogy becslésünk rossz becslés lehet).