Amennyire megértem, a tömeg valamilyen eloszlásának gravitációs kötési energiája negatívja annak gravitációs önpotenciális energiájának.
Ez utóbbit megpróbáltam kiszámítani egy szilárd, $ R $ sugarú, $ M $ sugarú és egyenletes sűrűségű gömb számára.
A shell tétel (vagy Gauss gravitációs törvénye) szerint a térerősséget a gömb közepétől $ r $ távolságban adja meg:
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
ahol $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ a $ r $ sugarú gömbbe zárt tömeg.
A gravitációs potenciál egy A disztribúció által létrehozott $ r $ távolság tehát
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Az öngravitációs potentiel energia: a gravitációs potenciál energiák összege $ U \ cdot dm $ az összes elosztott $ dm $ tömegelem fölött.
Lépjünk tovább a shell integrációjával. A $ r $ belső sugarú héjban lévő tömeg, a $ r + dr $ külső sugár egyszerűen
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
A a gömb tehát
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ nagy) \ nagy (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ nagy) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
ami pontosan a fele a helyes válasznak.
Többször is ellenőriztem a munkámat, hogy vannak-e egyszerű hibák, de úgy tűnik, nem tudom megtalálni a $ 2 $ tényező forrását. Ez arra késztet, hogy azt higgyem, valami alapvetően nincs rendben az energia kiszámításának módjával.
Hol a probléma?
Megjegyzések
- A MathJax-ban ' nagy zárójeleknél a \ big értéket használja, ami ' nem működik. Helyette használja a \ left és \ right illesztést. méret, míg a \ left és \ right automatikusan a méretre méretezhető, amely a zárójelek zárt tartalmához szükséges.
Válasz
A kérdés az, ahogyan a héjakat formáljátok – függetlenül attól, hogy az előző héjakon belülről vagy kívülről származnak-e. A megkötő energia esetében ez azt az energiamennyiséget jelenti, amelyre szükség lenne az egyes egymást követő héjak egymás utáni eltávolításához a végtelenségig. Így a potenciált a végtelenség, nem pedig az eredet szempontjából kell kiszámítani; a potenciál kifejezése azt sugallja, hogy minden héj az origónál kezdődik, és a meglévő tömegen keresztül $ r $ sugárra tágul, ahelyett, hogy kívülről összeforrna egy már meglévő mag körül. Tehát számítsa ki a potenciált a következő módon:
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Ezzel meg kell oldani a kettő tényezőjét.
A terminológiát félretéve, azt hiszem, meg tudunk egyezni a nagyságrend fogalmában az energiaeszközökből, tehát a pozitív vagy a negatívnak nincs hatalmas hatása. A fenti integrál érzéséhez képzeljünk el egyetlen részecskét, amelyet a még mindig kialakuló gömb gravitációja húz be ( sugár $ r $), nem pedig egy héj. Mivel a részecske a végtelenségtől érkezik, az a potenciális érzés a szokásos newtoni gravitációs potenciál lesz, egészen addig, amíg el nem éri a labda felületét. Most minden egyes apró A hozzáadott héj tömege $ dm $ ugyanazt a potenciált fogja érezni; úgy gondolhatjuk, hogy a héj sok kicsi részecske jön be minden irányból egyszerre. Minden alkalommal, amikor ilyen héjat adunk hozzá, $ r \ rightarrow r + dr $, tehát a $ M_ {enc} $ ennek megfelelően növekszik, amit az integrálban számolunk el több mint $ r $. Ez ellentétben áll a kérdésben a $ [0, R] $ határokkal rendelkező integrállal, mert egy ilyen integrál inkább hasonlít ahhoz az energiamennyiséghez, amelyre szükség lenne, hogy a tömeges héjakat az eredettől kifelé “felfújja”. Egy ilyen folyamat megköveteli, hogy a labda teljes mértékben áteresztő legyen, amikor a héjak felfújódnak a felszínre, de ha ez így lenne, akkor az egész golyó merevségének hiánya miatt azonnal újra magára omlik.
Megjegyzések
- Ok. Először valójában nem tudom, hogy ' milyen gravitációs kötési energia. Csak azt tudom, hogy mi az önpotenciális energia. A $ m_1, … m_N $ tömegű rendszer önpotenciális energiája $ U_ {i, j} $ összege az összes $ (i, j) $ párra $ i < j $ ahol $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ a $ m_i $ és $ m_j $ tömegek távolsága. Ezt próbáltam kiszámítani.
- Másodszor, az integráljának nincs értelme '. $ M_ {enc} (r) $ helyett $ M_ {enc} (x) $ nem kell?
- Josh helyes: helytelenül definiáltad a kötési energiát. A teljes számításhoz lásd ezt a Wikipedia cikket:Bourhis: Valójában amit kiszámoltam, az az ön-gravitációs potentiel energia, ami csak a kötési energia negatívuma. Fentebb leírtam az önpotenciális energiát, azaz egyszerűen a tömegeloszlás energiáját a saját gravitációs mezője miatt.
- A válaszban pontosítást adtam, mivel ez nem volna ' nem illik ide a megjegyzésekbe. A két mennyiségünk lényeges különbsége az energiamennyiség, amely az összes tömegdarab végtelen távoli eltávolításához szükséges, és az az energiamennyiség, amely szükséges ahhoz, hogy a labda ne omoljon össze magában. Az előbbi a gravitációs kötési energia (az önpotenciál miatt), az utóbbi pedig inkább az érintett kérdés minimális merevségének mérőszáma.
Válasz
Problémák merülnek fel a potenciál és a gravitációs kötési energia kiszámításával kapcsolatban.
A gömb belsejében lévő gravitációs mező sugárirányban befelé és nagysága $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. A gömbön kívüli gravitációs mező sugárirányban befelé irányul és nagysága $ GM / r ^ 2 $.
A gravitációs potenciál az egységnyi tömegre elvégzett munka, amely ezt a tömeget a végtelenségtől a $ r $ -ig hozza.
A gömb belsejében lévő $ r $ sugarú potenciál $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Azonban erre nincs szükség egy gömb kötési energiájának kiszámításához, mivel a gravitációs kötési energia azoknak az energiáknak az összege, amelyek szükségesek a tömeges kagylók gömb felszínéről a végtelenségig történő eltávolításához ( képzelje el, hogy a rétegeket lehúzza a felületről, amíg el nem éri a közepét).
A $ M “$ tömeggömb felszínén rejlő potenciál $ -GM” / R “$, ahol az állandó sűrűség $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Így $$ V (R “) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ és a kötési energia egyenlő $ V (R “) $ -ra szorozva egy héj tömegével, $ dM = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR” $, tömeghéjakra integrálva, nullától a csillag végsugaráig.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$