Mi a frekvenciafelbontás?

Szerkesztés:

Rájöttem, hogy a " frekvenciafelbontás " alábbi definícióm teljesen teljes téves (valamint az OP kérdése). A Frekvenciafelbontás mennyire hasonlít az ablak függvényének a frekvenciatérben a Dirac delta függvényéhez. Ennek oka, hogy az ablak és az időtartományban lévő jel szorzata konvolúcióvá válik a frekvenciatartományban ( és a Dirac delta függvényes konvolúció egy olyan mintavétel, amely tökéletes frekvenciafelbontást eredményezne.) Minél zsírosabb a mainlobe (annak szórásával számszerűsítve), és minél nagyobbak az oldalsó görbék, annál rosszabb a frekvenciafelbontás. Ezenkívül az Időfelbontás számszerűsíthető az ablak függvény varianciája az időtartományban.

A frekvenciafelbontás nem bináris felbontás / szélesség. Az alábbi grafikonon vegye figyelembe, hogy a lebenyek nem kerülnek közelebb (frekvenciafelbontás), annak ellenére, hogy a tároló szélessége csökken.

Hitel: Dan Boschen

A frekvenciafelbontás inkább a téglalap alakú függvény (azaz a sinc függvény) Fourier-transzformációjának tulajdonsága.

A Fourier-transzformációkkal való együttműködéshez ablakot kell kapnunk (még elméletileg is). Ennek eredményeként mindig a $ f (t) w (t) $ -val dolgozunk, nem pedig a $ f (t ) Maga a $ (itt $ w (t) $ egy téglalap alakú függvény). A konvolúciós tétel szerint az ablakos függvény Fourier-transzformációja mindig $ \ hat {f} $ konvolúciója $ \ kalap {w} = $ sinc. Különösen, ha a $ f $ szinuszos, a $ \ hat {f} $ egy Dirac delta függvény lesz, és a konvolúció csak egy sinc függvény mintavétele lesz. Így időszakosan teljesen elveszítjük a frekvenciákat ablakoláskor, ennek a veszteségnek a periodicitása a frekvenciafelbontás .

Mivel az ablakos függvényeknél a DTFT a CTFT periodikus közelítése, megszerzi ezeket a tulajdonságokat is.

A zavar azért merül fel, mert amikor nem adunk nullákat a DFT-hez (azaz csak minta $ f (t) w (t) $ ahol $ w (t) = 1 $ ), a tároló szélessége megegyezik a Frekvencia felbontással.

Ugyanakkor nullákat is kitölthetünk (azaz a mintát is $ f (t) w (t) $ ahol $ w (t) = 0 $ ), és ez azt eredményezi, hogy a DTF jobban interpolálja a span class = “math-container”> $ f (t) w (t) $ . Konferencia az első grafikonnal.

Hogy megtudja, miért a téglalap alakú függvény Fourier-transzformációja a a sinc funkció , nézze meg ezt a videót és vegye fontolóra a szinuszos függvények felcsavarodását (bár ez eléggé érintett)

Az OP példájának megválaszolásához a bin felbontása $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ ahol $ F_s = 2000 $ Hz a mintavételi arány, és $ N $ a DFT mérete.

A frekvenciafelbontás az, ami a bin felbontása lenne, ha csak mintát vennénk az ablakban (nincs nulla kitöltés)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ ahol $ M $ az ablakban található minták száma, $ T $ a minta időtartama, és $ F_s = M / T $ .

Megjegyzések

• Kedves válasz Tom.Ha nem világos, akkor gyakran nem ' nem használunk téglalap alakú ablakot, hanem más ablakokat, amelyek elkeskenyednek, és amelyek jelentősen csökkentik az oldalsó görbéket (javítják a dinamikatartományt) a rontás rovására. a frekvenciafelbontás tovább. Az egyik kedvenc klasszikus írásom erről és a DFT alkalmazásairól általában Fred Harris. Szerintem ' nagyon élvezed, ha ' még nem láttad: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Szép, kár, hogy ' kétszer is fel tudok szavazni!
• A @TomHuntington Wikipedia nyilván nem tud ' nem tud a képleteimről vagy a technikáimról. Továbbra is nehézségeim vannak az intrabin felbontással (a zaj és az egyenletek érzékenysége miatt), de a közeli frekvenciák feloldhatók iteratív becsléssel és eltávolítással. A nagy hang eltávolításakor a kisebb becsülhető. Ha eltávolítja a kicsi hangot, jobban olvashatja a nagyot. És így tovább, akár többféle hanggal is. Bármilyen ablak bonyolítja a matematikát.
• Ha két közel azonos amplitúdójú, de nagyon frekvenciájú sinusoidája van, használhatja a beat jelenséget az időtartományban. A jel látszólagos frekvenciája (nulla keresztezéssel) a két frekvencia átlaga, a burok frekvenciája (ha teljes ciklust veszünk, pl. Két lebeny) a fele a frekvenciák különbségének.
• Ezenkívül a felbontás meghatározza az Ön pontosságát a mérésben. Nem mond semmit a pontosságról.

Kicsit attól függ, hogy mit akar elérni.

Ha $ N $ hosszúságú FFT-t hajt végre a mintából vett mintából $ F_s $ , akkor sokan azt mondanák, hogy a frekvencia felbontása $ \ frac {F_s} {N} $ . Hogy ez helyes-e vagy sem, az valóban attól függ, hogy pontosan hogyan határozza meg a frekvenciafelbontást és mit tervez vele csinálni.

Ami valójában az történik, hogy mintavételezéssel mintavételez egy frekvenciatartomány-függvényt $ \ frac {F_s} {N} $ intervalluma. Amint kiválaszt egy FFT méretet, mindkét tartományban mintavételt végez, a mintavételi intervallumok $ \ frac {1} {F_s} $ időben és $ \ frac {F_s} {N} $ gyakoriságban.

A frekvenciatartomány-mintavételnek ugyanazok a tulajdonságai, követelményei és problémái vannak, mint az időtartomány-mintavételnek, álnévhez juthat, interpolálhat, feltételezhető a periodicitás a másik tartományban, stb.

A mintavételi tétel egyszerű alkalmazásával azt állíthatjuk, hogy a jel teljes jellemzéséhez szükséges frekvenciafelbontás egyszerűen a hossza az időtartományban. Ez jól működik olyan jelek esetében, amelyek eredendően időhöz kötöttek, például egy LTI-rendszer impulzus-válasza.

Azonban ez nem praktikus hosszú folyamatos jelek esetén. Ebben az esetben olyan frekvencia felbontást kell választania, amely “elég jó” az alkalmazásához, és ez valóban a készülék követelményeitől és céljától függ. konkrét alkalmazás.

A mintavételt $ {T} _ {s} adja = \ frac {1} {2000} $ [sec].
Az ablak hossza 1000 minta.
Mivel az ablak hosszának meg kell egyeznie az adat hosszával, arra következtetünk, hogy az adat hossza 1000 minta ami azt jelenti, hogy a mintavételi idő $ 0,5 $ [sec].

A BFT felbontása a DFT-ben a mintavételi intervallum és a DFT minták, ami ebben az esetben 2000. Ezért a bin felbontása $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Az FFT binw szélessége vagy az újrarendezés felbontása, ahogy szeretem hívni, Fs / N, ahol N az FFT mérete. A tényleges felbontás a használt ablaktól és az ablak hosszától függ.

Például: egy téglalap alakú ablak maximális felbontást, de kevésbé dinamikus tartományt biztosít. Más simább ablakok kisebb felbontást biztosítanak dinamikusabb tartományban vagy az alsó oldalsó lebenyek mellett.