Az egység lépésjelet úgy definiálják, hogy

$$ u [n] = \ lace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; Az n < 0 \ rbrace $$

három lehetséges megoldással rendelkezik a Fourier tartomány reprezentációjára, a megközelítés típusától függően. Ezek a következők –

  1. A széles körben követett megközelítés (Oppenheim tankönyv) – az egység lépésfüggvény Fourier-transzformációjának kiszámítása a signum függvény Fourier-transzformációjából.

$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$

  1. Fourier-transzformáció az egység lépésfüggvény Z-transzformációjából számítva (Lásd: Proakis tankönyv, Digitális jelfeldolgozó algoritmusok és alkalmazások , 267 268. oldal, 4.2.8. Szakasz)

$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$

  1. Fourier transzformáció páros és páratlan függvényekre osztva számítva – követve a Proakis tankönyvben (lásd: Proakis tankönyv, Digitális jelfeldolgozási algoritmusok és alkalmazások , 618. oldal, 8.1 szakasz) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $ $

A 2. ábrázolás figyelmen kívül hagyható, mivel ez nem jól viselkedő függvény. De a Proakis és az Oppenheim által követett megközelítések ugyanúgy érvényesek (kiterjesztik a Fourier-transzformációt, hogy impulzusokat is felvegyenek a frekvenciatartományba). De az a zavar, hogy különböző megoldásokat kínálnak.

Van valami hiba a megértésemben? vagy hiányzik valami fontos pont ?? Kérjük, segítsen megérteni ezt és a helyes formát, amely minden alkalmazásban használható. (Megállapítottam, hogy az Oppenheim-megközelítést alkalmazzák a Kramers-Kronig-kapcsolatok és a Hilbert-transzformáció levezetésénél használt Proakis-megközelítés levezetésére)

Válasz

Ne feledje, hogy az első kifejezés a $ u (t) $ folyamatos egység lépés Fourier-transzformációja, tehát nem alkalmazható az $ u diszkrét időbeli lépéssorozatra [ n] $. Ezenkívül a második és a harmadik kifejezés egyaránt helyes, és azonosak, ha figyelembe vesszük, hogy a második kifejezés nem igényel érvényességet a $ 2 \ pi $ egész szorzata esetén.

Ha a szögfrekvenciákat kihagyjuk a $ 2 \ pi $ többszörösei közül, a harmadik kifejezés lesz:

$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$

amely megegyezik a második kifejezéssel.

Megjegyzések

  • Nagyon köszönöm! Igen, a második és a harmadik egyenértékű, de a harmadikban összetételük az impulzusnak a pólusokba való beillesztésével történik. Köszönöm a pontosítást

Válasz

Ahogy Matt mondta, a második és a harmadik meghatározás ugyanaz, kivéve az impulzussal rendelkező rész. Az impulzus ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) a $ u [n] $ DC értékét adja . E kifejezés (azaz a második meghatározás) nélkül valójában a $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operátornév {sgn} [n] $ . Van $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Ezért a $ u [n] $ FT-jének van egy további kifejezése a $ \ frac {1 hozzáadásának elszámolásához. } {2} $ . Ezenkívül a $ u [n] $ diszkrét FT (vagy DTFT) idejét $ U (e ^ {j \ omega}) $ .

Az első definíció, $ U (j \ omega) $ a “folyamatos idő” “ $ u (t) $ (nem $ u [n] $ ) FT (vagy CTFT) és ezért különbözik a másik két definíciótól.

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük