Mi a legegyszerűbben kifejezve a mérőszám változatlansága?

Annak oka, hogy olyan nehéz megérteni, hogy mit értenek a fizikusok, amikor a “szabadságmérésről” beszélnek, az, hogy legalább négy egyenlőtlen definíció létezik, amelyeket láttam használni :

• 1. definíció: A matematikai elmélet mérőszabadsággal rendelkezik, ha a matematikai szabadság bizonyos fokai “feleslegesek” abban az értelemben, hogy két különböző matematikai kifejezés pontosan ugyanazt a fizikai rendszert írja le. . Ekkor a redundáns (vagy “nyomtávtól függő”) szabadságfokok “nem fizikálisak” abban az értelemben, hogy egyetlen lehetséges kísérlet sem határozhatja meg egyedileg az értékeiket, még elvileg sem. Az egyik híres példa a kvantumállapot teljes fázisa – teljesen mérhetetlen, és a Hilbert-térben található két vektor, amelyek csak egy általános fázissal különböznek egymástól, pontosan ugyanazt az állapotot írják le. Egy másik példa, amint említetted, bármiféle potenciál, amelyet meg kell meg kell különböztetni, hogy fizikai mennyiséget kapjunk – például egy potenciális energiafüggvényt. (Bár néhány más példája, például a hőmérséklet, nem példa a mérőműszerektől függő mennyiségekre, mert jól meghatározható fizikai értelme van a nulla hőmérsékletnek.)

  Azoknál a fizikai rendszereknél, amelyeket matematikai struktúrák írnak le egy nyomtávszabadsággal, az adott fizikai konfiguráció matematikai meghatározásának legjobb módja a nyomtávtól függő függvények ekvivalenciaosztálya, amelyek csak a mérőeszközök szabadsági fokaiban különböznek Például a kvantummechanikában a fizikai állapotot valójában nem egyetlen vektor írja le a Hilbert-térben, hanem a vektorok ekvivalenciaosztálya, amelyek különböznek egy skaláris mul borravaló. Vagy egyszerűbben: a Hilbert-tér vektorainak vonala val. (Ha fantáziát szeretne szerezni, a fizikai állapotok terét “projektív Hilbert-térnek” nevezik, amely a Hilbert-tér vonalainak halmaza, pontosabban a Hilbert-tér azon változata, amelyben a vektorokat azonosítják, ha azok arányosak Feltételezem, hogy a “fizikai potenciális energiákat” olyan potenciális energiafüggvények halmazaként is definiálhatnánk, amelyek csak additív állandóval különböznek egymástól, bár a gyakorlatban ez a fajta túlterhelés. Ezek az ekvivalenciaosztályok építkezéssel eltávolítják a mérőeszköz szabadságát, és a “mérőműszer változatlan”.

  Néha (bár nem mindig) létezik egyszerű matematikai művelet, amely eltávolítja az összes felesleges szabadságfokot, miközben megőrzi az összes fizikai tulajdonságot. Például egy potenciális energiát figyelembe véve a gradiens alapján megadható egy erőtér, amely közvetlenül mérhető.És a klasszikus E & M esetében léteznek részleges derivatívák bizonyos lineáris kombinációi, amelyek a potenciálokat közvetlenül mérhető $ {\ bf E} $ és $ {\ bf B} értékre redukálják. $ mezők fizikai adatok elvesztése nélkül. A kvantum Hilbert-térben levő vektor esetében azonban nincs egyszerű derivált művelet, amely eltávolítja a fázisszabadságot anélkül, hogy bármi mást elveszítene.

• 2. definíció: Ugyanez mint az 1. definíció, de azzal a kiegészítő követelményrel, hogy a redundáns szabadságfokok lokálisak legyen. Ez azt jelenti, hogy létezik valamiféle matematikai művelet, amely egy tetszőleges simától függ A $ \ lambda (x) $ függvény a téridőn, amely a fizikai fizikai fokokat (azaz a fizikailag mérhető mennyiségeket) invariánsnak hagyja. A kanonikus példa természetesen az, hogy ha bármilyen sima függvényt veszünk a $ \ lambda ( x) $, majd az $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ hozzáadásával az elektromágneses négypotenciálos $ A_ \ mu (x) $ elhagyja a fizikai mennyiségeket (a $ {\ bf E} $ és $ {\ bf B } $ mezők) változatlan. (A mezőelméletben a “fizikai szabadságfokok” változatlanságának követelménye úgy van megfogalmazva, hogy megköveteli, hogy a $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ , de más megfogalmazások is lehetségesek.) Ez a meghatározás egyértelműen sokkal szigorúbb – az 1. definíció fentebb bemutatott példái nem számítanak ennek a definíciónak -, és legtöbbször akkor, amikor a fizikusok „a szabadság felméréséről” beszélnek ezt a definíciót jelentik. Ebben az esetben ahelyett, hogy csak néhány redundáns / nem fizikális szabadságfoka lenne (például a potenciális energiád általános állandója), folyamatosan végtelen számod van. (Annak érdekében, hogy a helyzetet még zavarosabbá tegyék, egyesek az 1. definíció értelmében a “globális nyomtáv szimmetriája” kifejezést olyan dolgok leírására használják, mint egy kvantumállapot globális fázisszabadsága, ami egyértelműen a definíció értelmében ellentmondás lenne. 2.)

  Kiderült, hogy a kvantumtérelméletben ennek kezeléséhez lényegesen meg kell változtatnia a kvantálás szemléletét (technikailag “fel kell mérnie az út integráljának rögzítését”) annak érdekében, hogy hogy megszüntesse a szabadság minden fizikátlan fokát. Amikor az emberek a definíció szerint “nyomtávonkénti invariáns” mennyiségekről beszélnek, akkor a gyakorlatban általában a közvetlenül fizikailag mérhető származékokat értik, például az $ F _ {\ mu \ nu} $ elektromágneses tenzort, amelyek változatlanok maradnak (“invariánsok”) minden nyomtáv-átalakítás alatt . De technikailag léteznek más nyomtáv-invariáns mennyiségek is, pl. a $ A_ \ mu (x) + \ részleges_ \ mu \ lambda (x) $ egyenletes kvantumsuperpozíciója az összes lehetséges $ \ lambda (x) $ felett bizonyos $ A_ \ mu (x) esetén. $

  Tekintse meg a Terry Tao blogbejegyzését , ahol remekül elmagyarázza a mérőszimmetria második érzését matematikai szempontból.

• 3. meghatározás: A Lagrangianról azt mondják, hogy néha “nyomtávszimmetriát” hordoz, ha létezik olyan művelet, amely a téridő önkényes folytonos függvényétől függ, amely változatlanul hagyja, még akkor is, ha a szabadság fokai megváltoznak fizikailag mérhetőek.

• 4. meghatározás: A helyi rácsos hamiltoniaknál definiált “rácsmérő elmélethez” minden rácshelyen van egy operátor, amely ingázik. egyes esetekben ez az operátor fizikailag mérhető mennyiségnek felel meg.

A 3. és 4. definíció esetei fogalmilag kissé finomak, ezért nem megyek beléjük – itt követhetem őket -up kérdés, ha valakit érdekel.

Frissítés: Írtam további válaszokat a Hamilton-esetben és a Lagrangian-eset .

Hozzászólások

• Kiváló válasz! Ez az egyik legjobb explantation (egyetlen helyen), amellyel még találkoztam !!!! : D
• A következő kérdést tettem fel a 3. és a 4. szám közötti finomságokról.
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 A válaszom végén található frissítésben talál további linkeket.

Ezt csak akkor értettem meg, ha osztályt vettem az általános relativitáselméletben (GR), a differenciálgeometriában és a kvantumtérelméletben (QFT). A lényeg csupán a koordinátarendszerek változása, amelyet tükrözni kell a deriváltban. Megmagyarázom, mire gondolok.

Van egy elmélete, amely invariáns valamilyen szimmetriacsoport alatt. Tehát a kvantumelektrodinamikában Lagrang-féle sűrűség van a fermionokra (még nincsenek fotonok) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ részleges_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Ez a $ \ bar \ psi $ csak $ \ psi ^ \ tőr \ gamma ^ 0 $, fontos, hogy összetett konjugált.Az a tény, hogy ez egy négyvektor a spin-térben, itt nem okoz gondot. Amit most megtehet, az az, hogy átalakítja a $ \ psi \ értéket az exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ értékre néhány $ \ alpha \ mathbb R $ értékkel. Ekkor $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ és a Lagrangian invariáns lesz, mivel a derivált nem az exponenciális függvényre hat, hanem csak egy fázisfaktor. Ott van egy globális szimmetriád.

Most népszerűsítse a szimmetriát egy helyié, miért ne? A globális $ \ alpha $ helyett az egyik most $ \ alpha (x) $. Ez azt jelenti, hogy a téridő minden pontján más-más $ \ alpha $ -ot választunk. A probléma az, hogy amikor most átalakulunk, az ember felveszi a $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ -ot a differenciálás lánc- és termékszabályaival. Ez eleinte technikai bonyodalomnak tűnik.

Ennek megfogalmazására van egy beszédesebb módszer:
A $ \ psi (x) $ mező deriváltját veszed. Ez azt jelenti, hogy olyan különbség hányadost veszünk fel, mint a $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Ez globális átalakítással remekül működik. De a helyi átalakítással alapvetően két olyan értéket von le, amelyeket másként mérnek fel. A differenciálgeometriában az érhető el, hogy az elosztó különböző pontjain az érintőtér különbözik, ezért nem lehet csak összehasonlítani a vektorokat a komponenseik szerint. A párhuzamos szállítás biztosításához kapcsolat ra van szükség kapcsolati együtthatókkal . Itt is hasonló. Most előléptettük a $ \ phi $ -ot a $ \ mathbb R ^ 4 $ megélhetéséből a $ \ mathbb R ^ 4 \ -szeres S ^ 1 $ kötegben éléssé, mivel van egy U (1) nyomtávú csoportunk. Ezért valamilyen kapcsolatra van szükségünk az átalakított $ \ phi $ $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ és $ x $ közötti átviteléhez. Itt kell bevezetni valamilyen kapcsolatot, amely $$ \ részleges_ \ mu \ és \ mathrm D_ \ mu: = \ részleges_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Ha ezt csatlakoztatja a Lagrange-sűrűséghez, hogy $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ legyen, majd válassza $ A_ \ mu = \ részleges_ \ mu \ alpha $ látni fogja, hogy a Lagrang-féle sűrűség változatlan marad helyi átalakítások mellett is, mivel a kapcsolati együttható csak kivonja a nem kívánt kifejezést a termék / lánc szabályból.

Általában a relativitáselméletben tetszőleges diffeomorfizmus alatt van a szimmetriád, az ár az, hogy meg kell változtatnod a deriváltat egy kapcsolattá, $$ \ részleges \ helyett \ nabla: = \ részleges + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Mivel említette, hogy matematikai háttérrel rendelkezik, jónak találhatja a választ az egyenértékűségi osztályok szempontjából.

A mérőelmélet fizikai elmélet, ahol a megfigyelhető mennyiségek, mint például azok a dolgok, amelyeket egy tökéletes mérőeszközzel adott kísérlet segítségével mérhetnének, ekvivalenciaosztályok egy vektortérben.

Az elektromágnesesség a leggyakoribb példa. A modern fizika elméleteket mindig szálkötegként írják, ahol az alapul szolgáló sokaság téridő, a szálak pedig valamilyen érintő tér, amelyek a téridő egyes pontjaihoz (eseménynek nevezettek) kapcsolódnak. Az E & M szabad térben (nincs töltés) azt írják le, hogy egy $ A _ {\ mu} $ nevű 4 komponensű objektumot társítanak minden téridő ponthoz, $ x $, és $ -ot igényelnek. A _ {\ mu} (x) $ a maxwell-egyenletek kielégítésére.

A természetben megfigyelhető, ugyanolyan mérhető mennyiségek azonban az elektromos és a mágneses mezők, $ \ vec {E} (x) $ és $ \ vec {B} (x) $. Ezeket $ A _ {\ mu} (x) $ -ból származtatják a wiki definíciójának felhasználásával. (nézd meg a $ F _ {\ mu \ nu} (x) $ mátrix elemeit).

Kiderült, hogy az $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} átalakítás (x) + \ részleges _ {\ mu} f (x) $ minden kétszer differenciálható függvényhez $ f (x) $ ugyanazokat az értékeket adja meg, mint a megfigyelhető mezők $ \ vec {E} (x) $ és $ \ vec {B } (x) $. Tehát létezik ekvivalencia reláció

$ A _ {\ mu} (x) \ kb A _ {\ mu} (x) + \ részleges _ {\ mu} f (x) $ .

És általában a mérőelméletek olyan elméletek, ahol a megfigyelhető mennyiségek függvényei egyes vektorok ekvivalenciaosztályainak egy vektortérben. ebben az esetben vektoraink $ A _ {\ mu} (x) $ voltak (ezek a vektorok a téridőben kétszer differenciálható függvények függvényterében), és ekvivalencia-relációnkat fentebb adtuk meg.

Ami a végsőt illeti kérdés arról, hogy az olyan dolgok, mint a rendszer teljes energiájának meghatározása csak az állandó tényezőig bármely referencia-keretben, a Newton-dinamikát mérőeszköz-elméletvé teszi-e. A válasz nem, nem igazán. Alapvetően, ha nem terepi elméletről beszél, akkor egy fizikus nem nevezi a dolgot mérőelméletnek.

Megjegyzések

• Szép válasz, de talán pontosabb lenne azt mondani, hogy a nyomtávelméletben megfigyelhetőek függvényei az ekvivalenciaosztályok halmazának [olyan dolgok, mint a csatlakozások és a kötegszakaszok] mod mérik az egyenértékűséget.A nyomtávelmélet csalódása, hogy nem tudhatunk ‘ sok olyan esetről, ahol ezeket a függvényeket leírhatjuk, kivéve, ha a kapcsolatokon és szakaszokon adunk függvényeket.
• Igazad van, a nyelvem kissé hanyag. Valami olyasmit kell olvasnia, hogy ” a megfigyelhető funkciók valamilyen vektortér ekvivalenciaosztályainak függvényei. ”

A mérő invariancia egyszerűen redundancia egy fizikai rendszer leírásában. Azaz. végtelen számú vektorpotenciál közül választhatunk az E & M vektorban.

Például végtelen számú vektorpotenciál leírhatja az elektromágnesességet az alábbi transzformációval: / p>

$$ A (x) \ – A_ \ mu (x) + \ részleges_ \ mu \ alpha (x) $$

Egy adott nyomtáv kiválasztása (nyomtáv rögzítése) megoldást jelenthet egy fizikai probléma sokkal könnyebb, mint ha nem javítana egy mérőt.

Általában az egyik a Coulomb-mérőt választja: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Meg kell Hangsúlyozd, hogy a mérő invariancia NEM a természet szimmetriája, és nem mérhetsz meg semmit, ami ehhez kapcsolódik. Ezenkívül a QFT S-mátrix elemeihez helyi Lagrangi-fokozatra van szükség, és ezáltal felmérjük az invarianciát.

Példaként arra, hogy miért vezetnénk be a $ A ^ \ mu $ vektorot, vegyük figyelembe az Aharonov-Bohm-hatást, amely a vektorpotenciál globális topológiai tulajdonságai. Vannak még olyan okok, amelyek miatt a mérő invarianciája megkönnyíti az életet, csökkentve a foton szabadságának mértékét az úgynevezett kovariáns vagy $ R_ \ xi $ mérőeszközön, az okozati összefüggéseket stb. hogy kvantumtérelméletet dolgozzon át. : D

Megjegyzések

• @ user122066 További információkért, ha szimbólumra van szükséged, lásd: ez a tex.SE kérdés . De a MathJax csak bizonyos (La) TeX parancsokat támogat. A listát lásd: a MathJax dokumentációjában .
• Minden MathJax referencia esetében ellenőrizze ezt: MathJax alapvető útmutató és gyors áttekintés
• @ user122066: Ön ezt írta: ” Most ez a modern fizika rendkívül fontos tulajdonsága, és nagyon elveszhetünk nélküle! ” Azt hiszem, itt túlzol, és ez teszi ezt a kifejezést ” ijesztő “. Nincs bizonyíték arra, hogy csak a ” mérőelméletekkel kell dolgoznunk “. Más megközelítéseket csak nem tártak fel.
• @VladimirKalitvianski elég korrekt. Vannak rekurziós kapcsolatok az S mátrixhoz, amely elkerüli a mérőeszközöket, de ‘ nagyon nehéz elképzelni, hogy valami felfedezésre kerüljön, ami megkönnyíti a befogadást, mint a mérő invarianciája. Pedig teljesen igazad van. Törlöm ezt a részt
• (Hasznos a TeX szimbólumkeresésnél is – Detexify .)

Ezek a számítások gyakran csak két érték különbségétől függenek, nem pedig a konkrét értékektől . Ezért szabadon választhat egy nullát tetszése szerint. Ez egy példa a nyomtáv invarianciájára ugyanabban az értelemben, mint a fenti diplomás példák?

Igen, a szelvény invariancia legáltalánosabb meghatározásában igen, ezt nevezik a fizikusok globális mérőszám változatlanságának . További információ erről alább.

Ha egy mondatú választ kellene írnom a címére, ez a következő lenne:

A mérőszám változatlansága a fizikai törvény pontosan definiálható idézőjeles térképe, amely egy fizikai rendszer konfigurációját / paraméterterét / koordinátáit sűríti fizikailag egyenértékű konfigurációk ekvivalenciaosztályainak halmazává.

Ez abban az értelemben van, hogy például a coset termék jól definiálható a térkép alatt, amely elosztja a csoport normál alcsoportját. Egy konfiguráció fizikája független az ekvivalencia osztálytag választásától .

A mérőszám invarianciája a legkevésbé is egyszerűen annak az állításnak felel meg, hogy redundancia van egy fizikai rendszer matematikai leírásában. Egyébként a rendszernek szimmetriája van, változatlansága az átalakítások egy csoportjához képest.

A globális nyomtáv szimmetriája az, ahol a konfigurációs tér egy egyszerű derékszögű szorzat ( azaz egy triviális szálköteg) a fizikailag különálló egyenértékűségi osztályok és redundáns paraméterek halmazából, mint például két érték közötti különbség. Ha a fizikai leírás Lagrangi-leírás, akkor itt kerül előtérbe Noether tétele, amely konzervált mennyiségeket azonosít, minden ilyen redundáns paraméterhez egyet.A szelvénycsoport, azaz a szimmetriák csoportja, az összes ekvivalenciaosztályt (szálat) egyformán befolyásolja. Az állandó potenciál kivonása az elektrosztatikus potenciálból ilyen szimmetria, és óriási előrelépés a Corvid Civilization számára, mivel ez lehetővé teszi a varjaknak, hogy nagy feszültségű villanyvezetékeken üljenek, és boldogan lőjék a szellőt együtt, megvitatva a mérő elméletekkel kapcsolatos legújabb gondolataikat, és kijelentve, hogy ” Soha többé!” félünk-e attól, hogy a 22 kV globális hozzáadása az elektrosztatikus potenciálhoz megváltoztathatja annak a rendszernek a fizikáját, amelyhez tartozunk.

Azonban általában, amikor a fizikusok egy mérő elméletről beszélnek, akkor azt jelentik, ahol a szimmetriacsoport működhet általánosabb módon, a konfigurációs tér minden pontján egy másik csoporttag cselekszik. A megfelelő szálköteg már nem triviális. Bár egyszerűbb példát szeretett volna, mint az elektrodinamika, nem hinném, hogy van ilyen. Az elektronhullám-függvényhez hozzáadott fázis a koordináták bármilyen sima funkciója lehet, és a Leibniz-szabályból eredő extra kifejezések a származékokra vonatkoznak. a hullámfüggvény mozgásegyenlete (Dirac, Schrödinger) pontosan fel van szívva az EM potenciális egyalak zárt részébe. Egyébként félretéve mindig szeretek vizualizálni az EM-potenciált a Fourier-térben, amit ésszerű korlátozásokkal megtehetünk ( pl egy posztulátum, hogy például csak mérsékelt elosztásokra fogunk gondolni) , mert a négypotenciál redundáns részének térbeli része ekkor a hullámvektor mentén ( ie 3 vektornak tekinthető) alkotóeleme, és fizikailag csak a hullámvektorral normális komponens számít: ez az egyetlen része, amely túlélte a $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $ -t.

Két dolgot tartanék véleményem szerint az EM példából:

1. Annak ellenére, hogy ez gyakorlatilag meglehetősen további bonyolultsághoz vezet, fogalmilag ez csak egy kis ugrás az egyszerű globális nyomtávú szimmetrikus példához képest; egyszerűen megengedjük a szimmetriáknak, hogy lokálisan működjenek, ahelyett, hogy az összes konfigurációs térpontra hatnának. egyformán;

2. Vezetést véve a kísérletileg valós elektromágnesességből, feltételezzük, hogy ez a mérőszám változatlansága m általában relevánsabbak, ezért más fizikai jelenségekben vizsgáljuk a jelenlétét. Ez nem más, mint egy sejtés, amelyet sejteni lehet. Kísérletileg azt tapasztaljuk, hogy ez gyümölcsöző dolog. A fizikában nincs mélyebb betekintés a kísérleti eredményeknél.

Végül meg kell említenem, hogy a nyomtáv / szál köteg fogalmak akkor is hasznosak, ha mesterségesen deklaráljuk a konfigurációk ekvivalencia osztályait, amelyek a problémánk szükségleteire támaszkodnak , még akkor is, ha fizikai különbség van az ekvivalencia osztály tagjai között. Ennek a gondolkodásmódnak az egyik legszebb példája Montgomery “s ” A zuhanó macska mérési elmélete “. A macska konfigurációjának ekvivalencia osztályait vizsgáljuk, amelyek ekvivalensek modulo megfelelő euklideszi izometria egy macska alakú tér kialakításához, amely a szokásos kezelés során, ahol a macskát kétszakaszos robotnak tekintik, csavarodás nélküli gömb és foglalat csatlakozással, valós projektív sík $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Ezután a teljes konfigurációs tér egy szálköteg, amelynek alapja a $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ alakterület, a $ SO (3) $ csoport pedig az orientációkat szálként definiálja. A macska képes megfordulni, miközben megőrzi a szögmomentumot, saját alakjának ciklikus deformációival, a párhuzamos szállítás fogalmából fakadó összekapcsolódás görbülete miatt, amelyet a szögimpulzus megőrzése jelent.

Itt van a legalapvetőbb példa a nyomtáv szimmetriájára, amire gondolni tudok.

Tegyük fel, hogy t o megvitasson néhány hangyát , amelyek egy Möbius-bandán sétálnak. A hangyák helyzetének leírására kényelmes elképzelni, hogy a sávot a szélessége mentén elvágjuk, így téglalap lesz. Ezután három dolgot mondhat el nekem, hogy hol van a hangya:

• szélessége – a téglalap szélessége mentén.
• hosszúsága – a téglalap hossza mentén.
• orientációja – függetlenül attól, hogy a téglalap felső vagy alsó felületéhez tapad-e.

A hosszúság jelentése a az a képzeletbeli vágás. Ha elmozdítja a vágást, az összes hangya “hosszúsága megváltozik. Nem lehet fizikai oka annak, hogy az egyik vágást részesítsük előnyben, mert a sávot a hossza mentén csúsztathatja anélkül, hogy megváltoztatná az alakját vagy befolyásolná a hangyák viselkedését. szavakkal, az abszolút hosszúságnak semmiféle fizikailag értelmes fogalma nem lehet, mert a sáv fordítási szimmetriával rendelkezik .

Hasonlóképpen, a tájolás jelentése attól is függ, hogy miként jelölje meg a felületeket a téglalap felső és alsó részeként.”Nincs semmilyen fizikai oka annak, hogy az egyik címkézést előnyben részesítse a másik helyett, mert kicserélheti a sáv két felületét anélkül, hogy megváltoztatná az alakját vagy befolyásolná a hangyák viselkedését”. Ez a csere a nyomtávszimmetria példája. Van néhány olyan feltűnő vonása, amelyek nem oszthatók meg a közönséges szimmetriákkal. Vessünk egy pillantást az egyikre.

A helyzet minden szimmetriájához tartozik a helyzet bizonyos aspektusai Ez többféleképpen írható le, és nincs fizikai alapja a választásnak. Néha azonban hasznos választani és ragaszkodni hozzá, annak ellenére, hogy a választás fizikailag értelmetlen. Például a Föld felszínén vitorlázó emberekről folytatott beszélgetések során jóformán mindenki, akit ismerek, a hosszúságot meghatározza a londoni Greenwichen átívelő vágással, főleg azért, mert néhány ember akik ott éltek, átvették a világot, és sok tengeri térképet nyomtattak.

Ha egy közönséges hengeres sávon néznénk a hangyákat, rátelepedhetnénk a tájolás fogalmára ugyanolyan könnyen. A zenekar egyik oldalát türkizkékre festjük a “felső”, a másikat kékre az “alsó” részre, és ez lenne az. Möbius zenekarban a dolgok bonyolultabbak, mert a Möbius zenekarnak csak az egyik oldala van! megpróbálja az egyik felületét türkizkékre és az ellenkező felületét kékre festeni, kezdve a sáv egy kis részén és kifelé haladva, a türkiz és a kék terület elkerülhetetlenül ütközik. (Korábbi beszélgetésünkben az ütközést a hosszúsági vágás mentén rejtették el.)

Egy olyan közönséges szimmetriájú helyzetben, mint a fordítási szimmetria, “nem választhat a lehetséges leírások között fizikailag értelmes módon. A nyomtáv szimmetriájú helyzetben előfordulhat, hogy nem is képes választani a lehetséges leírások között globálisan következetes módon! Mindazonáltal mindig választhat következetes leírásokat a tér kis területein. Ezért nevezik a nyomtávszimmetriákat gyakran helyi szimmetriáknak .

Miután megkíséreltem hosszú, elemi leírást adni arról, hogy mi a nyomtávszimmetria, én is szívesen felajánlom rövid, kifinomult. A legegyszerűbb fizikai modelljeinkben az események egy sima sokaságon mennek végbe, az úgynevezett tér vagy téridő néven. A hétköznapi szimmetria a téridő diffeomorfizmusa, amely megőrzi az események fizikai lehetőségét. Kifinomultabb modellekben az események egy szálkötegben zajlanak a téridő alatt. A mérőszimmetria a szálköteg automorfizmusa, amely megőrzi az események fizikai lehetőségét.

Elemi példánkban a Möbius zenekar játssza a tér szerepét, és a hangyák körbejárják a sávot. orientációs csomag: Az orientációs csomagnak van egy automorfizmusa, amely kicseréli a sáv két felületét.

A klasszikus elektromágnesességben Minkowski téridő vagy más Lorentzi sokaság a téridő szerepét tölti be, és az elektromágneses teret egy kapcsolat egy körkötegen a téridő alatt. A Kaluza-Klein képen a töltött kötegek körbe-körbe mozognak, egyenes vonalakban repülve, amelyeknek “árnyékai” a téridőben a spirális utak, amelyeket látunk. A körcsomagnak van egy olyan auto-morfizmus-családja, amely elforgatja a körszálakat, amelyeket a képzeletbeli emberek $ \ operátornév {U} (1) $ -szimmetriának hívnak. Ez a kép / div> általánosít minden klasszikus Yang-Mills elméletre.

In az általános relativitáselméleti Palatini kép , a sima $ 4 $ -dimenziós sokaság a téridő szerepét tölti be, a gravitációs mezőt pedig $ \ operátornév {SO} képviseli. (3,1) $ csatlakozás az elosztó keretcsomagján. Gyanítom, hogy az általad említett linearizált gravitáció mérőszimmetriái a keretköteg automorfizmusai.

Einstein általános relativitásképében a szimmetriák a téridő diffeomorfizmusai. Ezeket inkább hétköznapi szimmetriáknak minősítem, mintsem. mint a mérőszimmetriák. Amint a tparker megemlítette , nem mindenki használja ugyanúgy a “mérőszimmetria” kifejezést.

Megjegyzések

• Csodálatos! Az M ö bius zenekar ötlete csak gyönyörű, és valóban megragadja a sokkal bonyolultabb ötletek minden lényegét. Szeretem azt is, hogy az ötletek áramlása hogyan mutatja be az egyszerű zökkenőmentesen általánosítását.
• Hé, mit ‘ s a három szavazattal? id = “d63e19a0a6”>

A nyomtáv invarianciájának nagyon érdekes fizikai értelmezése létezik $ U (1) $ szimmetria esetén. A mérőszimmetria az egyetlen módszer az anyag (tág értelemben – az önkényes spin mezője) és a fotonok (tömeg nélküli részecskék 1 helikussal rendelkező) invariáns interakciójának elérésére, amely $ \ frac {1} {r ^ {-ként csökken 2}} $ nagy távolságokon (ez az állítás nem más, mint Coulomb-törvény). Röviden: a 4 potenciális $ A _ {\ mu} $, amely az EM kölcsönhatások fordított négyzet törvényét adja, nem Lorentz kovariáns, és a Lorentz interakció változatlanságának megnyilvánulása helyi megőrzéshez vezet.

Tényleg, téridő szimmetriája alapján nagyon általános megfontolásokból kiderül, hogy a fotonokat az antiszimmetrikus 4-tenzoros $ F _ {\ mu \ nu} $, EM erősségi tenzor . Ez formálisan (tenzorindexekkel végzett naiv manipulációk alkalmazásával) és konstrukcióval (mint az a terület, amely az 1. helikussal rendelkező részecskéket ábrázolja) kovariáns, azaz A Lorentz-transzformációt a $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \}} $ mátrix adja, és $$ F _ {\ mu \ nu} \ formátumban átalakul Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Ezután tegyük fel, hogy vannak anyagmezők $ \ psi $, és megvitatjuk az anyag kölcsönhatását a fotonokkal. Az ilyen kölcsönhatás legnyilvánvalóbb módja az, ha az összes lehetséges konvolúció felépítése $ F _ {\ mu \ nu} $ anyagmezőkkel és Lorent-kovariáns objektumokkal (Dirac mátrixok, Levi-Civita kapcsolat stb.). Tegyük fel, hogy kísérletből is tudjuk, hogy az interakció nagy távolságra $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ -ként esik le. Sajnos ez lehetetlen, ha $ F _ {\ mu \ nu} $ -t használunk. A formális ok az, hogy ennek a mezőnek a terjesztője, amely az interakciós törvényt mutatja, gyorsabban esik, mint a $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Ez azért van, mert két index és a $ F _ {\ mu \ nu} $ antiszimmetriája.

Készíthetünk néhány tippet, és bevezethetjük a $ A _ {\ mu} $ objektumot egy indexgel, az úgynevezett 4-potenciális : $$ F _ {\ mu \ nu} = \ részleges _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ részleges _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Az interakciókat most $ A_ {konvolúcióival állítják össze. \ mu} $ anyagmezőkkel és más kovariáns objektumokkal.

Természetesen megköveteljük, hogy $ A _ {\ mu} $ a tömeg nélküli helicitás 1 részecskéket, valamint a $ F _ {\ mu \ nu} $ értéket képviselje. Sajnos ez a követelmény ahhoz a megállapításhoz vezet, hogy a 4-potenciál nem “kovariant Lorentz” (bár formálisan természetesen ez is). Pontosan Lorentz $ A _ {\ mu} $ transzformációs mező, amelyről feltételezzük, hogy 1 tömegesség nélküli részecskét képvisel, $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ értékre változik Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ részleges _ {\ mu} \ varphi $$ Látjuk, hogy ez nem Lorentz kovariáns. Az ingyenes lagrangian $ A _ {\ mu} $, ami csak $$ L = – \ frac { 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ Lorentz invariáns.

De van egy módja Lorentz interakcióinak változatlanságának megőrzésére. Ez az szerkessze őket, hogy invariánsak legyenek a $ A _ {\ mu} \ – A _ {\ mu} + \ részleges _ {\ mu} \ varphi $ átalakítás alatt. Pontosan a $ M _ {\ mu_ {1} interakció amplitúdója … \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, ahol $ \ epsilon $ foton helikális (polarizációs) vektorok, $ p_ {i} $ mind az interakció momentumai részecskék és $ k_ {j} $ fotonok momentumai), meg kell b átalakítás alatt álló invariáns $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ to \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ A hivatalos nyelven, amint azt a a folyamatok kezelése puha fotonok (fotonok szinte nulla mozzanatú) emissziójával, ez azt jelenti, hogy az anyagcsatolások természetvédelmi törvényének kell lennie $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$ Ez nem más, mint a díjmegőrzési törvény. A $ (2) $ -val együtt ez nem más, mint a $ U (1) $ -szimmetria.

Tehát azt látjuk, hogy a fotonok és az anyag kölcsönhatásainak Lorentz-invarianciája inverz négyzet törvény alapján a mérőszám változatlanságához vezet. Analóg módon vitatható az ekvivalencia elv a gravitonok és az összes mező kölcsönhatásának esete esetén.

A mérőelméletek leírják a kis, szimmetrikus extra méretekkel rendelkező tér

Kezdje egy végtelen hengerrel (egy vonal és egy kis kör közvetlen szorzata). A henger csavarható. Annak elkerülése érdekében, hogy olyan fogalmakhoz vonzódjak, amelyeket megpróbálok elmagyarázni, csak annyit mondok, hogy a henger dróthálóból készül: egyenletesen elosztott körök forrasztva a hosszában futó vezetékekhez. A hosszú huzalok egységként foroghatnak, és szöget zárnak be a szomszédos körpárok között. Nyilvánvaló, hogy minden ilyen konfiguráció folyamatosan deformálható másá: az összes ilyen henger egyenértékű a rajtuk csúszó közmondás hangyájának szempontjából.

Cserélje le a vonalat egy zárt hurokra, hogy a termék tórusz legyen (és gondoljon a tórusra mint egy hálós fánkra, annak ellenére, hogy a kis körök síkjának ilyen megváltoztatása technikailag megszakítja az analógiát). A fánk bármely része, az egésztől eltekintve, deformálódhat bármely más fánk ugyanolyan részévé, de a fánk egésze néha nem lehet, mert a fánk körüli csavarodás nem változtatható meg. Az egyenértékű fánk osztályait teljesen ez a hálócsavar jellemzi, amely természeténél fogva nem lokális.

Cserélje le a hurkot (és ne a kis kört) két vagy több dimenziós sokaságra. Igaz, bár nem nyilvánvaló, hogy a kapcsolat fizikai részét teljes egészében az összes zárt hurok ( Wilson hurkok ) körüli integrált csavar adja.

$ A $ és $ F $ számszerűsíti az összeköttetést

Diszkrét esetben a kapcsolat legegyszerűbben úgy írható le, hogy megadjuk a csavarást a szomszédos körök között. A kontinuumkorlátban ez “csavar gradiens” minden körnél. Ez $ A_ \ mu $, az úgynevezett vektorpotenciál.

Bármely folytonos deformációt leírhat egy skaláris mező $ \ phi $, amely az egyes körök összegét jelenti meg van csavarva (ahhoz képest, ahol korábban volt). Ez megváltoztatja a $ A_ \ mu $ értéket a $ \ phi $ gradiensével, de nem változtat semmilyen fizikai mennyiséget (hurok integrál).

A leírás A Wilson-ciklusok feltételei szerint a $ \ lub_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $ elegánsabb, mert csak fizikailag értelmes mennyiségeket tartalmaz, de nem helyhez kötött és rendkívül felesleges. Ha a hely egyszerűen összekapcsolt, elkerülheti az r mélység és nem lokalitás, csak a differenciál hurkok körüli csavarás megadásával, mivel nagyobb hurkok építhetők belőlük. Az úgynevezett mezőtenzor, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partis_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, pontosan ezt adja meg.

(Ha a szóköz nem egyszerűen összekapcsolva, akkor is megúszhatja a differenciál hurkok plusz egy nettó csavart az alapcsoport generáló készletének minden eleméhez. A tórusz természetesen ennek egy egyszerű példája.)

Az erő az Aharonov – Bohm effektusból származik

Vegyünk egy skaláris mezőt, amelyet a teljes térben definiáltunk (a korábbi mezőkkel ellentétben ez értéket vesz fel minden kör minden pontján). A mező mindenhol nulla, kivéve két keskeny sugarat, amelyek eltérnek egy ponttól és máshova konvergálnak. (Talán tükrök tükrözik őket; lehet, hogy a tér pozitívan ívelt; ez nem számít.)

Hacsak a mező a körökön állandó, a gerendák interferencia-viselkedése a különbségtől függ a kanyarban a két út mentén. Ez a különbség csak az utak által alkotott zárt hurok körüli integrál.

Ez az (általánosított) Aharonov – Bohm-effektus. Ha különböző módon eltérő utakra korlátozza, és a $ F _ {\ mu \ nu} $ segítségével kiszámítja az interferenciára gyakorolt hatást, megkapja az elektromágneses erő törvényét.

A mezőt Fourier-összetevőkre bonthatja. A Fourier-spektrum a kis dimenzióban diszkrét. A zéró (állandó) harmonikát a csavarás nem befolyásolja. A második harmonikus kétszer akkora hatással van, mint az első. Ezek az elektromos töltések.

A valóságban ismeretlen okokból csak bizonyos extra dimenziós harmonikusok látszanak létezni. Ha csak az első harmonikus létezik, akkor a mező ekvivalens leírása egyetlen komplex amplitúdó + fázis a nagy dimenziók minden pontján. A fázis egy tetszőleges helyi nulla ponthoz viszonyítva, amelyet a vektorpotenciál is használ. Ha összehasonlítja a fázist egy közeli pont fázisával, és közöttük van egy $ \ mathrm d \ theta $ vektorpotenciál-csavar, akkor a mező értékét $ i \, \ mathrm d \ theta $ értékkel kell beállítania. . Ez az szelvény kovariáns származékának eredete .

A körök más alakzatokra általánosítanak

Ha kicseréli a 2 gömbölyű körökben kapsz egy $ \ mathrm {SU} (2) $ -mérő elméletet. Ez numerikusan csúnyább: a szimmetriacsoport nem kommutatív, ezért be kell hoznod a Lie algebra gépezetét. Geometrikusan azonban semmi sok minden megváltozott. A csatlakozást továbbra is a hurkok körüli nettó csavarás írja le.

Az egyik sajnálatos különbség, hogy a töltés leírása extra dimenziós harmonikaként cs már nem működik. A gömb harmonikusok csak az egész szám-spin reprezentációkat adják meg, és az összes ismert részecske a $ \ mathrm {SU} (2) $ standard modell spin-0 vagy spin-½ ábrázolásában van, tehát a $ által érintett részecskék \ mathrm {SU} (2) A $ force egyáltalán nem írható le így. Lehetséges, hogy ezt a problémát egzotikusabb típusú mezővel lehet megoldani.

Semmiféle éleslátást nem tudok mondani a Standard Model nyomtávcsoport $ \ mathrm {SU} (3) $ részéről, csak hogy rámutassak arra, hogy az egész SM nyomtávcsoport beágyazható a $ \ mathrm {Spin} (10) $ , és úgy gondolom, hogy könnyebb egy 9 gömböt vizualizálni, mint egy alakot a $ \ mathrm {SU} (3) $ szimmetria.

Az általános relativitáselmélet hasonló

Az általános relativitáselméletben a Riemann-görbületi tenzor analóg a terepi tenzorral; a differenciál hurok körül szállított vektor szögelfordulását ábrázolja. Aharonov-Bohm-effektus hasonlít a kozmikus húr körüli szöghiányra . Kaluza-Klein elmélet eredetileg arra utalt, hogy az általános relativitáselméletből az elektromágnesesség öt dimenzióban származik, és most gyakran arra az általános gondolatra hivatkozik, hogy a standard modell mérőerői és az általános relativitáselmélet valószínűleg ugyanazon dolog különböző aspektusai.

A klasszikus elektrodinamikában (CED) a szelvény változatlansága az elektromos és mágneses mezők függetlenségét jelenti a $ \ varphi $ és $ \ bf {A} $ potenciálok adott “választásától”. A potenciálok egyenlete természetesen függ a “nyomtáv” konkrét választásától, és különböző megoldásokat adnak a különböző mérőeszközökre.

A QM és QED esetében a nyomtáv invarianciája a egyenletforma (a megoldások még mindig eltérőek, de fizikailag egyenértékűek).

De be kell tartani ne feledje, hogy minden hasznos változó megváltoztatása akkor is elfogadható, ha a megfelelő eredmények fizikailag ugyanazok maradnak. Ehhez az egyenletek formája egyáltalán nem kötelező “invariáns”.