Folyamatosan látom az elsőrendű és másodrendű feltételek kifejezéseket, amelyeket az alsóbb szintű közgazdasági osztályomban használtam a termelési funkciókról, a monopóliumokról stb., de fogalmam sincs mit jelentenek ezek a kifejezések. Teljesen kétértelmű kifejezésnek tűnik. Milyen körülmények között?
Meg tudja magyarázni valaki, mit jelentenek ezek a kifejezések? Ha ez kontextustól függ, feltéve, hogy ezek közül néhány elemi jelentést társít a kifejezéshez.
Válasz
Tegyük fel, hogy van egy differenciálható $ f (x) $ függvénye, amelyet optimalizálni szeretne a $ x $ kiválasztásával. Ha $ f (x) $ haszon vagy nyereség, akkor $ x $ értéket (azaz fogyasztási csomagot vagy előállított mennyiséget) kell választania, hogy a $ f $ értéke a lehető legnagyobb legyen. Ha az $ f (x) $ egy költségfüggvény, akkor a $ x $ lehetőséget kell választania, hogy a $ f $ a lehető legkisebb legyen. A FOC és a SOC olyan feltételek, amelyek meghatározzák, hogy egy megoldás maximalizálja-e vagy minimalizálja-e az adott funkciót.
Undergrad szinten általában az a helyzet, hogy úgy kell választanod a $ x ^ * $ értéket, hogy az $ f $ deriváltja nulla legyen: $$ f “(x ^ *) = 0. $$ Ez a FOC. Ennek a feltételnek az az intuíciója, hogy egy függvény akkor éri el a szélső értékét (akár maximumot, akár minimumot), ha a deriváltja nulla (lásd az alábbi képet). [Tudnia kell arról, hogy vannak még érintett finomságok: további információkért keressen olyan kifejezéseket, mint a “belső vs sarok megoldások”, “globális vs helyi maximum / minimum” és “nyeregpont”.
Azonban, amint a kép is szemlélteti, a $ x ^ * $ egyszerű megtalálása, ahol $ f “(x ^ *) = 0 $, nem elég a következtetéshez hogy $ x ^ * $ az a megoldás, amely maximalizálja vagy minimalizálja a célfüggvényt. Mindkét grafikonban a függvény nulla meredekséget ér el $ x ^ * $ értéknél, de a $ x ^ * $ maximalizáló a bal gráfban, de minimalizáló a jobb oldali grafikonban.
Annak ellenőrzéséhez, hogy a $ x ^ * $ maximalizáló vagy minimalizáló, szükség van-e SOC-ra. A maximalizálás SOC-értéke: $$ f “” (x ^ *) < 0 $$, a minimalizáláshoz pedig S $ $ f “” (x ^ *) > 0. $$ Intuitív módon, ha a $ x ^ * $ maximalizálja a $ f $ értéket, a $ f $ meredeksége a $ x ^ * $ körül csökken. Vegyük a bal oldali grafikont, ahol a $ x ^ * $ maximalizáló. Látjuk, hogy a $ f $ meredeksége pozitív a $ x ^ * $ bal oldalán és negatív a jobb oldalon. Így a $ x ^ * $ szomszédságában, amint a $ x $ növekszik, a $ f “(x) $ csökken. A minimalizáló esete hasonló.
Megjegyzések
- De miért ' nem hívják " Első derivált teszt " még mindig rejtély számomra.
Válasz
Például amikor nyereségmaximalizálás a $ \ pi (q) $ nyereségfüggvényből kiindulva, a maximum fő feltétele, hogy: $$ \ frac {\ partis \ pi} {\ részleges q} = 0 $$ Ez a FOC (első rend feltétel).
Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy amit fentebb talált, igaz maximum, ellenőrizzen egy “másodlagos” feltételt is: $$ \ frac {\ részleges ^ 2 \ pi} {\ részleges q ^ 2} < 0 $$ Ezt hívjuk SOC-nak (másodrendű feltétel).
Válasz
A cél egy függvény helyi maximumának (vagy minimumának) a megtalálása.
Ha az f Az unction kétszer is megkülönböztethető:
- Az első derivált teszt megmondja, hogy helyi szélsőség-e.
- A második derivált teszt megmondja, hogy ez “helyi maximum vagy minimum”.
Abban az esetben, ha függvény nem differenciálható, elvégezhet egy általánosabb szélsőséges tesztet .
Megjegyzés: lehetetlen algoritmust készíteni egy egy tetszőleges függvény globális maximuma .
A neoklasszikus közgazdászok ezt a két matematikai módszert minden bizonnyal átnevezik elsőrendű feltételekre . és másodrendű feltételek hűvösnek vagy más történelmi okokból. Miért érdemes széles körben használt nevet használni, ha csak kitalálhatja?
A kifejezést a korlátozott maximalizálásnál is használják, amikor a Lagrange-szorzó módszer és Karush – Kuhn – Tucker feltételek . Megint nem gondolom, hogy a kifejezést nem közgazdászok használják.