Figyelmeztetés: A válasz első része nagyon technikai álláspontot képvisel a BRST eljárás kapcsán, és emellett véges dimenziós fázistérrel is dolgozik. szükségszerűség miatt. Elég távol állhat a szellemek megértésétől a BRST transzformációk vagy a szellemek, mint eszköz átlagos alkalmazásában.

---

A szellemek általános felfogása

Sokféle van szintek, amelyeken megvitathatja a szellemek, az anti-szellemek megjelenését és azok számát a korlátozott hamiltoni mechanikában (ami megegyezik a lagrangi szintű mérési elméletekkel). Az egyiket részben felvázolom ebben a válaszomban , ahol a BRST operátort mutatjuk be differenciálként a Lie algebra nyomtávú kohomológiában.

A szellemek nézésének egy kissé eltérő módját vizsgáljuk meg, mégpedig úgy, hogy ” meghosszabbítjuk a fázisteret “, ebben a válaszban, bár ez a Lie algebra kohomológiai megközelítés átfogalmazásának tekinthető a ” fázistermi kifejezésekben “:

A A BRST formalizmus absztrakt szinten arra törekszik, hogy megvalósítsa a kényszerfelületre történő redukciót $ \ Sigma $ egy fázistérben $ X $ nem a $ G_a $ megszorítások megoldásával, hanem a fázistér megfelelő nagyításának keresésével úgy, hogy a kibővített fázistér függvényei osztályozott levezetés $ \ delta $ azokon él, akiknek ho A mológia kiszámítja a kényszerfelület függvényeit, amelyek a nyomtávon invariáns megfigyelhetők. ¹

A kibővített fázistér a következőképpen kapjuk meg:

1. A kényszerfelület $ \ Sigma $ függvényét az összes fázistér függvény hányadosa adja meg, és modulálja a felületen eltűnő függvényeket. Minden a felületen eltűnő $ f $ függvényt a $$ f = f ^ a G_a $$ ad meg ahol a $ f ^ a $ tetszőleges fázistérfüggvények. Ha valaki annyi változót vezet be $ P_a $ , ahány korlátozás van, és meghatározza a $ \ delta P_a = G_a $ , valamint a $ \ delta z = 0 $ bármely eredeti fázistér változó esetén, majd a $ \ delta $ kép pontosan az összes olyan funkció, amely eltűnik a $ \ Sigma $ fájlban. A $ \ delta $ osztályozásához $ P_a $ -ot $ 1 $ . A függvény mértékét, éppúgy, mint egy polinom fokozatát a $ P_a $ -ban, anti- szellemszám . ²

2. A $ P_a $ magányosak, és konjugált változókra van szükségük. Ezeket az úgynevezett longitudinális 1-alakok adják meg a kényszerfelületen, ahol a kényszerfelületen egy hosszanti vektormező az, amely érintőleges a nyomtáv keringésére. Dualjaik 1-formák, amelyeket csak a hosszanti vektorok határoznak meg. Geometriai szempontból intuitívnak kell lennie (és ez valójában igaz is), hogy a hosszanti vektor mezők pontosan azok a mezők, amelyek a nyomtáv transzformációit generálják (ezek ismét csak a nyomtáv Lie algebra inkarnációi). Ezért annyi alapvető longitudinális 1 forma van, $ \ eta ^ a $ , ahány korlátozás van, és ahány anti-szellem $ P_a $ .Mivel létezik a $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ természetes művelet a kettős definíciója alapján, az is természetes, hogy egyszerűen meghatározzuk a Poisson zárójelet kibővített fázistéren $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ koordinátákkal $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ , így a $ (\ eta ^ a, P_a) $ párok további párokként működnek a kanonikus változók közül. A levezetést egyszerűen kiterjeszti a $ \ eta $ -ra egyszerűen a $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . A kibővített fázistérület funkcióinak mostantól tiszta szellemszámot rendelnek a $ \ eta $ .

A kibővített fázistéren található bármely funkció függvényében a szellem A szám egyszerűen a tiszta szellemszám, levonva a szellemellenes számot.

A szellemszámban az a szép, hogy egy bizonyos generátor töltése – a ³ $$ \ mathcal {G} operátor méri: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ amely teljesíti a $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatornév {gh} (f) f $$ értéket a meghatározott szellem bármely funkciójára szám. A szellemszám fizikailag fontos, mivel a szellemszám nulla állapota a BRST invariáns állapotával együtt a fizikai állapot szükséges és elégséges feltétele.

Ennek a feltételnek az eléréséhez azonban meg kell adni most megkapjuk a BRST differenciálját egy másik differenciál $ \ mathrm {d} $ hozzáadásával a $ \ delta $ -hoz, és megmutatja, hogy a $ \ delta + \ mathrm {d} $ ad, ha ” kis zavarok ” hozzáadódik, a BRST formalizmushoz szükséges nilpotens operátor. (Ennek levezetése nagyon technikai jellegű, és néha a homológiai perturbációelmélet ” tétele ” néven ismert). $ \ mathrm {d}, \ delta $ , azt találjuk, hogy a nyomtáv-invariáns függvények pontosan azok, amelyek invariánsak a BRST operátor alatt, nulla szellemszámmal, így a kvantumelmélet szintén ezt a korlátozást kell előírnia.

---

^{1 ” amelynek homológiája kiszámítja a ” a matematika beszél, mert $ \ delta $ operátor, ahol a nyomtáv-invariáns függvények pontosan a $ \ delta (f) = 0 $ és ahol azonosítjuk $ f $ és $ g $ , ha van olyan $ h $ , amely $ \ delta (h) = f – g $ . Ez egy kicsit bonyolultabbá válik a redukálható kényszerek esetén.}

^{2 Nem redukálható kényszerek esetén ez már helyesen kiszámolja a mérőt -variáns funkciók, és itt elvileg le lehet állni. Nem kielégítő azonban, ha hozzáadtuk a $ P_a $ -ot, de nem rendelkezünk megfelelő konjugált változókkal a hamiltoni formalizmusban.}

^{3 Ez a meghatározás a kérdésben írt $ U $ kifejezés diszkrét, nem konform analógja.}

^{Fő hivatkozás: ” A szelvényrendszerek kvantálása ” írta: Henneaux / Teitelboim}

---

A $ bc $ -CFT

Általános ” $ bc $ -CFT “, azaz 2D a konform mezőelméletet és a szellemszerű mezőket a $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ részleges c (z) szellemművelet adja ) + b (z) \ részleges c (z) \ jobbra) $$ , amikor a $ b $ és $ c $ konform súlyokkal rendelkezik $ h_b $ és $ h_c = 1 – h_b $ . A nulla szellemszámú fázistér-függvények most konform tömegű $ 1 $ operátorokhoz fordulnak (mivel azonos számú szellem és anti-szellem van bennük, és a súly additívan viselkedik) ).

Ez azt mutatja, hogy az elsődleges fizikai állapotoknak (2D CFT-k állapot-mező megfeleltetése alapján) egy ilyen elméletben szükségszerűen konform súlyúaknak kell lenniük $ 1 $ .Ez fontos a húrelméletben, ahol egy $ bc $ -CFT a $ h_b = 2 $ természetesen hozzáadva a világlap mezők $ X $ -CFT-jéhez. Egy általános CFT esetében az összes lehetséges primer elvben fizikai állapot lehet, de a BRST eljárás nulla állapotba kényszeríti a szellemszámot, azaz a $ 1 $ súlyú mezőket. csak fizikai állapotok engedélyezettek.

Megjegyzések

• Ez egy nagyon részletes válasz, de tudna példát adni kifejezetten a szellemszámok használatára a CFT-ben ?
• @JakeLebovic: Rövid magyarázatot adtam arról, hogy miként tükröződik a nulla szellemszám követelménye a húrelmélet esetében (ez az egyetlen számomra ismert eset, amikor a szellemek CFT-ben jelennek meg).

A síkbeli konform térelméletben meg kell határoznia egy belső szorzatot a elmélete államai. A bosonikus húrelméletben az államok tere, azaz a $ \ mathcal {H} $ elmélet Hilbert-tere a Virassoro algebra ábrázolásának tere:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

A CFT radiális kvantálásában a komplex síkon az elmélet Hilbert-terének minden állapotához társíthat egy helyi operátort a komplex síkon, az ún. operátor-állam levelezés . Ezen a Hilbert téren meghatározható a BPZ belső termék. Az első dolog a $ | 0 \ rangle $ és $ \ langle0 | $ aszimptotikus állapotok meghatározása.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {az eredetnél} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {at infinity} \, \, z = \ infty $$

Ez a kettő összekapcsolható konform átalakítás $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Megmutatható, hogy ebben a konform átalakulásban a $ h _ {\ Phi} $ konform dimenzió $ \ Phi $ mezőjének \ \ hat {\ alpha} _n $ módja átalakul a következőképpen:

$$ \ kalap {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Tehát a konform átalakulás alatt megvan a a következő:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Ez a Virasoro algebra esetében azt jelenti, hogy $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ és $ L_1 $, valamint anti-holomorf ellentársaik $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ és $ \ overline {L} _1 $ megsemmisíti mind a $ | 0 \ rangle $, mind a $ \ langle0 | $ értéket. De ezek a módok létrehozzák az $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ csoportot, a globális konform transzformáció csoportját a Riemann-gömbön. A $ | 0 \ rangle $ tehát $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – invariáns vákuum.

Másrészt a $ (1) $ használatával kimutatható, hogy $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ és $ b_1 $ is megsemmisíti a $ | 0 \ rangle $ és a $ \ langle0 | $. A $ bc $ -s rendszer kanonikus kommutációs kapcsolata azt mutatja, hogy:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

tehát a $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ és $ c_1 $ módok megsemmisítik a $ \ rvert0 \ rangle $ és $ \ langle0 \ rvert $ egyikét sem. A Riemann-gömbön lévő $ bc $ -rendszer első, nem nulla mátrixeleme a következő:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

A BPZ ragozás, azaz az (1) reláció 3 egységgel sérti a szellemszámot. A $ bc $ -s rendszer művelete a következő szellemszám-szimmetriával rendelkezik:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

A megfelelő áram a következő:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

Amelyben a $: \ cdots: $ a normál sorrendet jelöli.

A szellemszám fent leírt megsértésének eredete geometriai. Az $ j $ az olyan királis fermionok fermionszáma, amelyeknek nem konvergenciális egész spinje van (a $ b $ és $ c $ mindkettőnek egész spinje van.) Tehát gravitációs anomáliája van:

$$ \ részleges_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

Ebben az esetben a $ \ lambda $ a konform dimenzió $ b $. Ennek integrálásával láthatjuk, hogy a szellemszám megsértése a $ g $ Riemann nemzetség felületén (zárt húrelmélet világlapja) $ 3 (g-1) $. A szellemáram jelentősége az, hogy meghatározza a CFT nulla S-mátrix elemeit.