Mi az AMDF?

Még soha nem láttam a “Formula” szót az “AMDF” szóval. Az AMDF meghatározásának megértése

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Nagy | $$

$ n_0 $ az érdeklődési körzet a $ x [n] $ . Ne feledje, hogy csak nem negatív kifejezéseket foglal össze. Tehát $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . A “ $ k $ ” -ot a “lag” nak nevezzük. Ha $ k = 0 $ , majd $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Ha $ x [n] $ időszakos a $ P $ periódussal (és hagyja, hogy “úgy tesznek, mintha a $ P $ egy egész szám), majd $ Q_x [P, n_0] = 0 $ és $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ bármely egész számra $ m $ .

Most még ha a $ x [n] $ nem pontosan periodikus, vagy ha a periódus nem pontosan egész számú minta (az Ön által használt adott mintavételi gyakoriság mellett), akkor $ Q_x [k, n_0] \ kb 0 $ elvárható bármilyen késés esetén $ k $ a periódusra vagy a periódus bármely egész számának többszörösére. Valójában, ha a $ x [n] $ majdnem periodikus, de az időszak nem a minták egész számánál van, akkor arra számítunk, hogy képes leszünk interpolálni a $ Q_x [k, n_0] $ a $ k $ egész értékei között, hogy még alacsonyabb minimumot kapjon.

A kedvencem nem az AMDF, hanem az “ASDF” (találd ki, mit jelent az “S”?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ összeg \ korlátok_ {n = 0} ^ {N-1} \ nagy (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ nagy) ^ 2 $ $

Kiderült, hogy ezzel meg lehet számolni, mert a négyzetfüggvénynek vannak folytonos származékai, de az abszolútértékfüggvénynek nincs.

Itt van még egy ok, ami tetszik Az ASDF jobb, mint az AMDF. Ha a $ N $ nagyon nagy, és kicsit gyorsabban és lazábban játszunk az összegzés korlátjaival:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ balra (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ jobbra) \\ & = \ frac {1} {N} \ balra (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ balra (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ jobbra) \\ \ end {align} $$

hol

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

rendszerint a $ x [n] $ “autokorrelációjaként” azonosítható.

Tehát azt várjuk, hogy az autokorrelációs függvény az ASDF fejjel lefelé fordított (és ellensúlyozott) másolata. Bárhol az autokorreláció csúcspontja ott van, ahol az ASDF (és általában az AMDF) minimumot tartalmaz.