Miért azonos a várakozás a számtani átlaggal?

Informálisan egy valószínűségi eloszlás határozza meg egy véletlen változó kimenetelének relatív gyakorisága – a várható érték ezen eredmények súlyozott átlagaként (a relatív gyakorisággal súlyozva) is felfogható. Hasonlóképpen, a várható érték úgy is felfogható, mint egy számkészlet számtani közepe, pontosan létrejövő arányban, az előfordulásuk valószínűségével (folytonos véletlenszerű változó esetén ez nem “t pontosan igaz, mivel adott értékek valószínűsége $ 0 $).

A kapcsolat a várható érték és a számtani átlag között egy diszkrét véletlen változóval világosabb, ahol a várható érték

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

ahol $ S $ a mintaterület. Például tegyük fel, hogy van egy diszkrét véletlen változója $ X $, amely:

$$ X = \ begin {esetben} 1 & \ mbox {valószínűséggel} 1/8 \\ 2 & \ mbox {valószínűséggel} 3/8 \\ 3 & \ mbox {valószínűséggel} 1/2 \ end {esetek} $$

Vagyis a valószínűség tömegfüggvénye $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ és $ P (X = 3) = 1/2 $. A fenti képlet szerint a várható érték

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Tekintsük most a valószínűség tömegfüggvényével pontosan arányos gyakorisággal generált számokat – például a $ \ {1,1,2,2,2 számok halmazát , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – két $ 1 $ s, hat $ 2 $ s és nyolc $ 3 $ s. Most vegye fel ezeknek a számoknak a számtani átlagát:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

és láthatja, hogy pontosan megegyezik a várható értékkel.

Megjegyzések

• Nem lehetne ezt jobban szemléltetni az {1,2,2,2,3,3,3,3} egyszerűbb halmazának használatával? Az aritmetikát mutató kifejezés A halmaz átlaga megegyezik azzal a kifejezéssel, amely a változó várható értékét mutatja (ha a súlyozott termékeket egyszerű összegekké konvertálja).
• Re: " az adott halmaz számtani átlagát mutató kifejezés megegyezik azzal a kifejezéssel, amely az adott változó várható értékét mutatja (ha a súlyozott termékeket egyszerű összegekké konvertálja) " – Igen teljes pont 🙂

Az elvárás egy véletlen változó átlagos értéke vagy átlaga, nem valószínűség mint ilyen diszkrét A véletlen változók azon értékek súlyozott átlaga, amelyeket a véletlen változó felvesz, ahol a súlyozás az egyes értékek relatív előfordulási gyakorisága szerint történik. Egy abszolút folytonos véletlen változó esetében az x értékek integrálja szorozva a valószínűségi sűrűséggel. A megfigyelt adatok független, azonos eloszlású véletlen változók gyűjteményének értékeként tekinthetők meg. A mintaátlagot (vagy a minta várakozását) az adatok elvárásaként határozzuk meg a megfigyelt adatok empirikus eloszlásához viszonyítva. Ez egyszerűen az adatok számtani átlaga.

Megjegyzések

• +1. Jó fogási re: " Az elvárás egy véletlen változó átlagos értéke vagy átlaga, nem pedig valószínűségi eloszlás ". Nem vettem észre ' ezt a finom terminológiai visszaélést.

Figyeljünk nagyon odafigyelést a definíciókra:

Az átlagot úgy határozzuk meg, mint egy számegyüttes összegét elosztva a gyűjteményben lévő számok számával. n-ig (x x i i összege) osztva n-vel. “

A várható érték (EV) az általa képviselt kísérlet ismétléseinek hosszú távú átlagos értéke. A számítás i-re” 1-től n-ig, az x sub i esemény összege a valószínűségének a szorosa (és az összes p sub i összege = 1) összege. “

Igazságos meghalás esetén könnyen belátható, hogy a Az átlag és az EV megegyezik. Átlag – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 és az EV értéke:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = összeg (p * x) = 3,50

De mi lenne, ha a szerszám nem lenne “korrekt”. Egy tisztességtelen szerszám elkészítésének egyszerű módja a ah ole a sarokban a 4, 5 és 6 arc kereszteződésében.Mondjuk most, hogy egy 4, 5 vagy 6 gurulás valószínűsége új és továbbfejlesztett görbe szerszámunkon most 2,2, az 1, 2 vagy 3 gurulásának valószínűsége pedig most 133. Ez ugyanaz meghaljon 6 arccal, egy-egy számmal mindkét oldalon, és ennek a szerszámnak az átlaga még mindig 3,5. Azonban, miután ezt a szerszámot sokszor elgurítottuk, az EV értéke 3,8, mert az események valószínűsége már nem minden esemény esetében azonos. / p>

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum (p * x) = 3.80

Ismét legyünk vigyázzon, és térjen vissza a definícióhoz, mielőtt arra a következtetésre jutna, hogy egy dolog mindig “ugyanaz” lesz, mint egy másik. Vessen egy pillantást a normál szerszám kialakítására, és fúrjon lyukat a többi 7 sarokba, és nézze meg, hogyan változnak az EV-k – érezd jól magad.

Bob_T

Az “átlag” és a “várható érték” között csak annyi a különbség, hogy az átlagot főleg a frekvenciaeloszláshoz, az elvárást pedig a valószínűségeloszláshoz használják. A frekvenciaeloszlásban a mintaterület változókból és azok előfordulási frekvenciáiból áll. A valószínűségeloszlásban a mintaterület véletlenszerű változókból és azok valószínűségeiből áll. Most már tudjuk, hogy az összes változó teljes valószínűségének a mintaterületben = 1-nek kell lennie. Itt rejlik az alapvető különbség. A várakozás nevezője mindig = 1. (azaz Összegzés f (xi) = 1) A frekvencia összegzésére (amely alapvetően a bejegyzések teljes száma) nincsenek ilyen korlátozások.