Miért erősebb a Föld ' gravitációja a pólusokon?

A lényeg az, hogy ha a Földet egy oblata ellipszoiddal közelítjük meg, akkor a Föld felszíne egy ekvipotenciális felület , $ ^ 1 $ lásd pl. ez a Phys.SE bejegyzés.

Mivel a poláris sugár kisebb, mint az egyenlítői sugár, az ekvipotenciális felületek sűrűségének a pólusokon nagyobbnak kell lennie, mint az egyenlítőnél.

Vagy ezzel egyenértékűen a $ ^ 2 $ $ g $ mezőerőnek a pólusokon nagyobbnak kell lennie, mint az Egyenlítőnél.

–

$ ^ 1 $ Vegye figyelembe, hogy a potenciál itt a gravitációs és a centrifugális erők együttes hatására utal. Ha ekvipotenciális felületre öntünk egy kis vizet, nem lenne előnyös áramlási irány.

$ ^ 2 $ Hasonlóképpen, a térerő, más néven little $ g $ , a A gravitációs és a centrifugális erők együttes hatása, még akkor is, ha a $ g $ -ot gyakran (véletlenül és kissé félrevezető) gravitációs állandónak nevezik a Föld felszínén.

Megjegyzések

• Vajon ” argumentum közelebb van-e a tömegközéppontjához “?
• Szép. Bár a válasz soha nem használja a ” centrifugális erő kifejezést, ” amely ‘ implicit az érv, mert az ekvipotenciál ekvipotenciál a forgó keretben.
• @Floris – Az az érv, hogy ” közelebb van a tömegközéppontjához ” kinda-sort működik, ahol a kinda-sorta kb. 3/2-t jelent (szemben ezzel). Az Egyenlítőnél történt redukció körülbelül 2/3-a annak tulajdonítható, hogy az Egyenlítő 21 km-re van a Föld közepétől. A másik 1/3-a közvetlenül a centrifugális erőnek köszönhető (és természetesen az első 2/3 rész közvetetten a centrifugális erőnek köszönhető).
• @DavidHammen – Gondolom, hogy könyveimben ” gravitáció ” csak a vonzerő két hatalmas tárgy között; a tömeg által a föld felszínén tapasztalt erő mind a távolságot, mind a forgást modulálja, de csak az előbbi ” gravitáció ” a könyveim. Mivel OP kijelentette, hogy megérti a rotációs részt, én valóban azt javasoltam, hogy a második rész megfogalmazásának legegyszerűbb módjára összpontosítsak.
• Azt hiszem, Lubos már régen írt egy választ, amely némileg megmagyarázza, miért az egyenlítői dudor más, mint azt naivan gondolnánk. ‘ Megnézem, hogy ki tudom-e ásni ezt a választ.

Sok helyen állítják, hogy a Föld gravitációja két okból erősebb a pólusokon, mint az Egyenlítő:

1. A centrifugális az erő minimálisan megszünteti a gravitációt, inkább az Egyenlítőnél, mint a pólusoknál.
2. A pólusok az egyenlítői domborulat miatt közelebb vannak a középponthoz, és így erősebb a gravitációs mező.

TL; DR verzió: Három oka van. A nagyságrend szerint

1. A pólusok közelebb vannak az egyenlítői domborulat miatt a Föld középpontjáig. Ez erősíti a pólusokon a gravitációt, és az Egyenlítőnél gyengíti.

2. Az Egyenlítői domborulat módosítja a Föld gravitációját. Ez gyengíti a gravitációt a pólusokon és erősíti azt az Egyenlítőnél.

3. A Föld forog, ezért a Földhöz kötött megfigyelő centrifugális erőt lát. Th Ez nincs hatással a pólusokra, és gyengíti a gravitációt az Egyenlítőn.Az alábbi táblázat összehasonlítja, hogy egy gömb alakú gravitációs modell, a kevésbé centrifugális gyorsulás miként jósol gravitációs gyorsulást a tengerszintnél az Egyenlítőnél ($ g _ {\ text {eq}} $) és az északi pólusnál ($ g _ {\ text {p}} $) szemben a jól bevált Somigliana gravitációs képlettel kiszámított értékekkel: $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

   $ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Összesen} & \ text {Somigliana} & \ text {Hiba} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ fantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ fantom {-} 0,03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {mátrix} $

   Ez az egyszerű modell minőségi értelemben működik. Ez azt mutatja, hogy az északi póluson a gravitáció magasabb, mint az Egyenlítőnél. Mennyiségileg ez az egyszerű modell nem túl jó. Jelentősen túlértékeli az északi pólus és az Egyenlítő közötti gravitáció különbségét, majdnem kétszeresen.

   A probléma az, hogy ez az egyszerű modell nem veszi figyelembe az egyenlítői domborulat gravitációs hatását. Egyszerű módja ennek a dudornak az a gondolata, hogy pozitív tömeget ad hozzá az Egyenlítőhöz, de negatív tömeget ad hozzá a pólusokhoz, a nettó tömegváltozáshoz. A pólus negatív tömege csökkenti a gravitációt a pólus közelében, míg az egyenlítőnél lévő pozitív tömeg növeli az egyenlítői gravitációt. Pontosan ezt rendelte el az orvos.

   Matematikailag az a tömegek mozgása az, hogy egy kvadrupólmomentumot hoz létre a Föld gravitációs mezőjében. Anélkül, hogy belemennénk a gömb harmonikusainak részleteibe, ez hozzáad egy $ 3 értéket J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ jobb) $ gravitációs erő, ahol $ \ lambda $ a geocentrikus szélesség, $ J_2 $ pedig a Föld második dinamikus alakja. Ha ezt a négypólusú kifejezést hozzáadjuk a fenti táblához, a következőket kapjuk:

   $ \ begin {matrix} \ text {Mennyiség} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Összesen} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ fantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ fantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

   Ez az egyszerű kiegészítés A kvadrupól most nagyon szép mérkőzést eredményez.

   ---

   A fentiekben használt számok:

   • $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ szöveg {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, a Föld gravitációs paramétere csökkentve a légköri hozzájárulást.

   • $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, a Föld egyenlítői sugara (átlagos árapályérték).

   • $ 1 / f = 298.25231 $, a Föld lapított (átlagos árapály) érték).

   • $ \ omega = 7.292115855 \ szor 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, a Föld forgása arány.

   • $ J_2 = 0,0010826359 $, a Föld második dinamikus formatényezője.

   • $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitáció a tengerszint felett az Egyenlítőn.

   • $ \ kappa = 0,00193185138639 $, amely az egyenlítői gravitáció és a pólusok közötti megfigyelt különbséget tükrözi.

   • $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, az ábra excentricitásának négyzete. a Föld.

   Ezek az értékek többnyire Groten-ből származnak, “Alapvető paraméterek és jelenlegi (2004) legjobb becslések a paraméterekről” a csillagászat, a geodézia és a geodinamika szempontjából közös jelentőségű. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , a standard gravitációs paraméterrel módosítva, hogy kizárják a légkör tömegét. A Föld légköre gravitációs hatást gyakorol a Holdra és a műholdakra, de nem annyira a Föld felszínén álló emberekre.

   Megjegyzések

   • Re ” A pólusok közelebb vannak a Föld közepéhez az egyenlítői dudor felé. Ez erősíti a gravitációt a pólusokon és gyengíti az Egyenlítőn. ” : Ez ne legyen igaz, ha a Földnek egyenletes a tömegeloszlása .
   • @PeterMortensen – Ez helytelen. Még ha a Föld egyenletes sűrűségű is lenne, a gravitációs gyorsulás a póluson nagyobb lenne, mint az Egyenlítőnél, körülbelül $ 1 + \ frac 1 5 f $ tényezővel, ahol $ f $ a lapító tényező. Lásd: A gravitációs erő megoszlása egy nem forgó oblált gömbön .
   • It ‘ nagyon hasznos, ha mindez egy helyen van; Soha nem vettem észre a helyzet súlyosságát, amíg egyszerre át nem néztem.

Itt “Ez egy egyszerű érv, amely nem igényel semmiféle olyan divatos dolgot, mint az potenciálpotenciál vagy a forgó referenciakeret. Képzelje el, hogy fokozatosan egyre gyorsabban forgathatjuk a földet. Végül szétrepül. Abban a pillanatban, amikor szétrepülni kezdett, az történne, ha a Föld részei az Egyenlítőnél keringési sebességgel haladnának. Amikor pályára állsz, látszólagos súlytalanságot tapasztalsz, csakúgy, mint az űrhajósok az űrállomáson.

Tehát az Egyenlítő egy pontján a gravitáció látszólagos gyorsulása $ g $ (azaz amit mérsz) a föld felszínéhez rögzített laboratóriumban) nullára megy, amikor a föld elég gyorsan forog. Interpolációval arra számítunk, hogy a tényleges centrifugálásnak a $ g $ csökkenését kell eredményeznie az Egyenlítőnél ahhoz az értékhez képest, amely akkor lenne, ha a föld nem forogna.

Vegye figyelembe, hogy ez az argumentum automatikusan figyelembe veszi a föld torzulását a gömbölyűségtől. Az oblát alak csak egy része a gömbölyűség és a szétszakadás közötti interpolációnak.

A pólusokon más. Nem számít, milyen gyorsan pörgeti a földet, az északi sarkon a föld egy része soha nem kerül pályára. A $ g $ értéke megváltozik a föld alakjának megváltozása miatt, de ennek a hatásnak viszonylag gyengének kell lennie, mert soha nem vezethet szakadáshoz.

A pólusok és az Egyenlítő közötti szabad esés gyorsulásának különbségének két tényezője van. Ezeket egyenként megvitatom.

A pólusokon a mért a gravitációs gyorsulás 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Az Egyenlítőnél a mért gravitációs gyorsulás 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Tekintettel a Föld egyenlítői sugarára és a Föld forgási sebességére, kiszámíthatja, hogy mekkora centripetális gyorsulás szükséges ahhoz, hogy együtt forogjon a Földdel, amikor az Egyenlítőn található. Ez 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Ez a szükséges centripetális gyorsulás (az Egyenlítőnél) megy az Egyenlítőnél a valódi gravitációs gyorsulás rovására.

Tehát rekonstruálhatjuk, hogy mi lenne az egyenlítői gravitációs gyorsulás egy olyan égitesten, amelynek mérete és sűrűsége, egyenlítői domborulata megegyezik a Földéval, de nem forog.

Valódi gravitációs gyorsulás: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Tehát még mindig 0, 0178 $ m / s különbség van ^ 2 $

Ez a fennmaradó különbség a Föld laposodásának tudható be: az Egyenlítőn távolabb van a Föld gravitációs vonzerejének központjától, mint a pólusoknál.

A lényeg az, ha minden hatást figyelembe vettünk. Matematikát összegeznénk, hogy a nagyobb tömeg hatása a lábad alatt még mindig kisebb, mint a tömegközéptől való távolság hatása.

Egy másik nézet. Az Egyenlítőnél dudorok vannak a közelében. De a föld minden más oldaláról a dudor messze van tőled. Hasonlítsa össze azzal a pólussal, hogy minden dudor egyformán távol van tőled, ez számol a különbséggel