Gyakran olvastam, hogy a Fermi-folyadéknak minősülő fémeknek olyan ellenállással kell rendelkezniük, amely a hőmérséklet függvényében változik, például $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Gondolom, a $ T ^ 2 $ rész az elektron-elektron kölcsönhatások miatti ellenállás, az állandó kifejezés pedig a szennyeződés szóródása.
Van egyszerű érv ennek bemutatására? Vagy talán tudna rámutatni egy szép referenciára?
Továbbá úgy tűnik, hogy az elektron-elektron kölcsönhatások véges ellenállás eléréséhez bizonyos umklapp-szórás szükséges (a galileai és a transzlációs invariancia megtörése érdekében). Ez korrekt? Ezen szimmetriák közül melyiket kell megszakítani (galileai vagy fordítási)?
Megjegyzések
- Jobb választ keresek, de egyszerű megértésem a következőképpen: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. És a $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ az, ami meghatározza a Fermi folyadék viselkedését.
- A $ T ^ 2 $ méretezéshez Umklapp és elektron-elektron szétszórásra is szükség van. Valójában a kvázi részecskék Fermi felületének $ O (kT) $ közelsége részt vesz az interakciókban, amelyek a arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Ez ‘ az, amire én is gondoltam, de hova jön az umklapp?
- Van valakinek néhány jó referenciája az umklapp-effektus kiszámítása a Fermi folyadékelméletben?
- Van néhány egyszerű ” fázistér ” argumentum a $ T ^ 2 $ függőség motiválására; találkoztál velük, @jjj?
Válasz
Hogyan vezet az elektron-elektron kölcsönhatás egy $ T-hez ^ {2} A $ függőség azzal magyarázható, hogy megértjük az elektron-elektron szóródásra vonatkozó korlátokat a lendület megőrzésével és a kizárási elvvel.
Tekintsük egy elektrongáz fermi felületét 3D-ben. A Fermi felület egy $ k_ {f} $ sugarú gömb. Véges hőmérsékleten az elektronok a Fermi Dirac-egyenlet által szabályozott Fermi-felületen kívüli állapotokat foglalják el, amelyeket a Fermi-gömbön kívüli héj jellemez, amelynek sugara a hőmérséklettel arányos. Ezért a Fermi-gömbön belül ugyanazon sugarú héjban vannak üres állapotok.
Ha bekapcsoljuk az elektron-elektron kölcsönhatásokat, kis kölcsönhatási erősség mellett azt tekinthetjük, hogy az elektronok ezen állapotok között szóródnak a fenti, nem kölcsönhatásban lévő képen. Az elektronok, fermionok lévén, csak a már nem elfoglalt állapotokat foglalhatják el, a lendület kielégítő megőrzésével együtt. Így ki kell választanunk két elektront, amelyek mind a T-vel arányos sugárhéjon vannak, a $ k_ {f} $ sugarú felület mindkét oldalán, hogy az ember a $ k_-n kívüli üres állapotba szóródhasson. {f} $ felület, a másik pedig üres állapotba a $ k_ {f} $ felület belsejében lévő héjban. Így két ilyen elektron kiválasztásának valószínűsége arányos a $ T ^ 2 $ értékkel.
Mivel az ellenálláshoz való hozzájárulás arányos e szórási események valószínűségével, ezek a kölcsönhatások $ T ^ 2 $ -hoz vezetnek az ellenállás függősége.
Vannak szigorúbb érvek, de szerintem ez intuitív képet ad, amely gyenge interakciók és alacsony hőmérséklet esetén is érvényes.
Válasz
Vagy esetleg rámutatna egy szép hivatkozásra?
A következő válasz mögött található részletek megtalálhatók a következő arXiv dokumentumban (és az ott található hivatkozásokban) arXiv: 1109.3050v1 .
Van-e egyszerű érv ennek bemutatására?
Úgy tűnik, nem, de a következőket tudom mondani. Az elektron-elektron ütközések miatti vezetőképességet általában a következő adja meg: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ ahol $ \ sigma $ az elektromos vezetőképesség, $ n $ az elektronszám-sűrűség, $ e $ az alapvető töltés , $ m $ az elektron tömeg , a $ \ tau_ {coll} $ pedig az ütközés átlagos skálája (vagy relaxációs ráta). Ne feledje, hogy az ellenállás , $ \ eta $, csak a fordított irányú vezetőképesség a skaláris közelítésben.
Landau-Fermi folyadék esetében az átlagos relaxációs ráta az elektronok számára a Fermi felületén kimutatható: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alfa \ \ bal (m * \ jobb) ^ {3} \ \ bal (k_ {B} \ T \ jobb) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ ahol $ \ alpha $ az ionrácsba történő impulzusátvitel hatékonysága dimenzió nélküli mennyiség, amely kielégíti a $ \ alpha $ < 1 értéket, $ k_ {B} $ a Boltzmann-konstans , $ \ hbar $ a Planck-állandó , $ W \ balra (\ theta, \ phi \ right) $ a rugalmatlan szóródás átmenetének valószínűsége.
Idézet a fenti hivatkozott arXiv cikkből:
Azonban az a tény, hogy a szilárd anyag nem rendelkezik teljes fordítási szimmetriával, fontos következményekkel jár. Baber már 1937-ben bemutatta a véges ellenállás mechanizmusát egy kétsávos modellben, amelyben $ s $ elektronokat szórnak ki a nehezebb $ d $ lyukakból egy átvilágított Coulomb-kölcsönhatás … egy sávos Umklapp folyamatok lehetővé teszik a lendület átadását a kristálykoordinátarendszerbe …
ahol Az Umklapp folyamatai az elektron- phonon és / vagy phonon-phonon szórás rácsban. A szerzők azt is megmutatták, hogy a szögletes zárójelben szereplő kifejezés integrálható a következőkbe: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ jobbra)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ balra (\ pi \ \ hbar \ jobbra) ^ {5}} {\ balra (m * \ jobbra) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ ahol $ \ lambda _ {\ tau} $ egy dimenzió nélküli paraméter, amely a polaronban hatékony interakciót írja le. -polaron szórás, a $ \ epsilon_ {F} * $ pedig a polaronok Fermi-energiája . Kis algebra után megmutathatjuk, hogy: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ balra (\ pi \ k_ {B} \ T \ jobbra) ^ {2} \ tag {3} $$
Így az ellenállás arányos a $ \ eta \ propto T ^ {2} $.