Miért van tizenkét hang egy oktávban?

Ez a math.se-n lévő kérdés meglehetősen hasonlít ahhoz, amit kérdezel, és a válaszok sok részletet tartalmaznak:

Matematikai különbség a fehér és fekete hangok között egy zongorában?

Ami itt zajlik, az egy masszívan kényelmes matematikai egybeesés: a 2 ^ (1/12) hatványainak többsége jó közelítés a kis egész számok aránya, és ezek elégek a nyugati zene lejátszásához.

Megjegyzések

• Úgy gondolom, hogy alapvetően a (3/2) ^ 12 (129,75) közel áll a kettő hatványához (128). Így a 12 hangú egyenletes hangulatú skála ötödikének aránya 1,498: 1 (ideális lenne 1,5: 1), ami közelebb áll a tökéleteshez, mint bármely más ésszerű számú hanghoz.

Kettő pontok, amelyekre esetleg nem kaptak teljes választ.

• Miért van C-dúr a természetes tónusok referencia skálája?

  Az angolszász jelölés kissé eltakarja a történelmet. Az egyházzenétől a hagyomány Olaszországban (majd röviddel Franciaország és Spanyolország után) vezetett a referencia-főbb léptékű feljegyzések hagyományos szótagokkal történő megnevezéséhez: Ut Re Mi Fa Sol La Si (ez megfelel a CDEFGAB ) annak idején egy nagyon ismert darab latin szövegéből származik. Ez utóbbi egybetűs jelölés újabb kiindulási pontot vesz fel, de a C-dúr skála referenciajellemzője továbbra is fennmaradt a nyugati országokban, még akkor is, ha bizonyítékot talál a jelölésekre és a billentyűzetekre, más referenciákként. Az egyik fő hatás a billentyűs hangszerek (nevezetesen az egyházi orgona) gyártása volt. A jelenlegi billentyűzetkiosztás kompromisszumot jelent a kezek tipikus szélessége között, az Ut játékot játszva (ma már többnyire Do vagy C ) nagy skála egyszerűen, hozzáféréssel az összes félhanghoz és néhány egyéb dologhoz. Más tervek nem voltak olyan sikeresek.

  Azt is tudni kell, hogy a zene elmélete és egységesítése legalább a 19. századig az egységességet szorgalmazó (ortodox, katolikus, református, …) egyházak védnöksége alatt történt. A XIX. Században a hangolás, a zenetanítás és a zongorauralom, mint referencia- és zeneszerzés még nagyobb szabványosítása és nemzetközivé válása volt. Az elmúlt három évszázad fokozatosan elnyomta vagy feledésbe merítette Európában az eltérő hagyományokat (skálákat, módokat, hangolást illetően).Manapság a zenét tanuló embereket bizonyítékként tanítják a C-dúr skálára, mint a zeneelmélet alapjául, és a moll skálát és annak változatait nem mindig kezelik tisztességesen.

• Miért van félhang az E & F és a B & C között és máshol nincs?

  Több skála / mód létezik a fő skálán kívül, változó számú hanggal, ahol a félhangokat nem a 3. és 4. hang, hanem a 7. és 8. közé helyezzük. A három kisebb skála (harmonikus, növekvő, csökkenő) például, de dorian , phryg , elolvashat egy enciklopédia cikket róluk.

Megjegyzések

• Valójában csak az ut a la keresztül származik közvetlenül a himnuszból, amely csak C-től A-ig terjed, de ez rendben volt, mivel a rendszer amelyek ezeket a szótagokat használták, átfedő hatjegyű skálákat neveztek hexachordoknak; ezeket a szótagokat a látszólag megelőző héthangú skála betűnevei mellett használták. Az Ut t F, C vagy G. esetében alkalmazták. Si t később adtak hozzá, amikor a hexachord rendszer felbomlott, és a szótagokat a héthangú skálára alkalmazták. A fő skála akkoriban még nem igazán létezett, mivel csak négy hiteles mód létezett és azok plagális megfelelői.

Az ötödik a legkisebb nem oktávos mássalhangzó intervallum, 3: 2 frekvenciaaránnyal. Ha tiszta ötödeket kezd el egymásra rakni, akkor az első eredmény, amely viszonylag közel áll a halmozott oktávokhoz (2: 1), 12 ötödik, ami 531441: 4096-nak bizonyul, szemben a 7: 128-hoz 7 oktávval. Ez olyan közel van, amennyire oktávonként ésszerű számú jegyzethez juthat. Tehát, ha egymásra rakott oktávokból és szinte tökéletes ötödekből felépített tonalitást keres, akkor a tizenkét tónusú felosztás nagyjából olyan lesz, amihez eljut. .

Ez előfordul, hogy néhány más intervallumot is szolgál (például nagyobb és kisebb harmad), de rosszabb, mint ötöd. Az “átlagos hangulat temperamentuma” megpróbál számos nagyobb harmadot tisztává tenni annak árán, hogy több más intervallumot, valamint néhány harmad rosszabbul szól, és a “jól temperált hangolás” több tiszta ötödet és néhány szép harmadot kap cserébe néhány gusztustalanabbért. ötödik.

Tehát az évezredek során a hangolás fókuszát a tiszta harmadról a tiszta ötödre változtatta, és végül eldőlt, hogy csak az oktávokat teszi tisztává, és a skála többi részét egyformán temperált ötödik köré építi, ami 12 egyforma hangulatú félhang.

Megjegyzések

• ez nagyon jó magyarázat volt. köszönöm. továbbra is érdekel az oktávok felosztása különféle számú félhangokra és az eredmények lejátszása. Kíváncsi vagyok, vajon a 12 féltónusú oktáv jól hangzott-e a ” zene megjelenése előtt, amint tudjuk “, vagy ez valami elsajátított ízléssel, ebben az esetben az oktáv alternatív bontásait alkalmazkodni lehet, például a nyugati vs indiai vs kelet-ázsiai zene esetében.

Ha két hangot együtt játszanak, csak akkor hangzanak kellemesen, ha hullámgörbéjük néhány ciklusonként összeáll. Harmonikus hangzásnak hívjuk őket.

Ha a hullámgörbék soha nem jönnek össze, vagy néhány cikluson belül nem teszik meg, akkor ellentmondásosak.

A hullámgörbék csak akkor jönnek össze, ha a két frekvencia egymás többszöröse: Például, ha az egyik frekvencia 200 ciklus másodpercenként, a másik pedig 600 ciklus másodpercenként, akkor a hanggörbéjük másodpercenként pontosan 3-szor egybeesik, és harmonikusan szólalnak meg.

Az egyes oktávok 12 intervallumra osztásával maximalizálja a kellemesen hangzó hangpárok számát. Ez azért van, mert a 12-es szám osztható több kis számmal, mint bármely más, 60-nál kisebb szám. Ez osztható 1,2,3,4-vel és 6-mal. A 60-as szám kellemesebb kombinációkat engedne meg (1,2,3, 4. és 5.), de nevetséges lenne oktávot 60 intervallumra osztani.

Tehát a modern nyugati zenében 12 intervallumot használnak. Ez biztosítja a maximális számú kellemesen hangzó kombinációt a harmónia megteremtése érdekében.

Megjegyzések

• Nem értem ‘, hogy miért fontosak itt az osztók. Mert például az egyenletes temperált triton frekvenciaaránya 2 ^ (6/12), amely az egyik legrosszabb közelítés (a csak intonációhoz képest) a skálán, míg a tökéletes negyedik (2 ^ (5/12)) az egyik a legjobb (lásd a linket Matthew ‘ s válaszában). Még egy apró megjegyzés: Ha az egyik frekvencia 200Hz, a másik pedig 600Hz, akkor feltételezve, hogy ‘ szinkronizálódnak, akkor másodpercenként 200-szor ugyanabban a fázisban lesznek, vagyis a gyorsabb.
• A don ‘ t frekvenciáknak egymásnak többszöröseinek kell lenniük; meg kell osztaniuk egy kis közös mutipelt. Lásd itteni válaszomat .
• 60 félhang oktávonként! ez egy kiváló kísérlet kipróbálásához: D
• @nonpopnak igaza van. Ha az oktávot n egyenlő intervallumra osztjuk, akkor nem fontos, hogy n sok tényező legyen. A 16et-nek nincs közelítése a tökéletes ötödhöz. A 30et-nek nincs jobb intervalluma, mint a 15et-nek, amelynek legjobb ötöde 18 centi széles (12et ‘ s 2 cent keskeny). Másrészről, néhány egyenletes, kiváló intervallumú temperamentumnak n értéke van, például 19et, 31et és 53et.
• Igen, egyetértek @nonpop. Van valami helytelen ebben a válaszban. A 12TET intervallumok egyike sem ” sorakozik fel “, az éppen hangolás tökéletes összehangolást biztosít, de más problémákat okoz. A 12TET kompromisszum. ‘ Tökéletes hangmagasságú ismert embereket állítok, akik azt állítják, hogy a 12TET intervallumok MINDENKÉNT disszonánsnak hangzik.

Ennek oka az AJ. Az agy szereti az egyszerű arányú frekvenciákat. Azt hiszi, hogy együtt mennek. Először is meg kell kérdezni, miért vannak oktávok?

Nos, az oktáv a hertz (ciklusok másodpercenként) megduplázását / felezését jelenti.

Tehát a midi középső C értéke 256 hz, és ha ismeri a számítógép számát, akkor ” vegye észre, hogy a következő C oktávok 512, 1024, 2048 stb., az alsó oktávok pedig 128, 64 és (pimp az útja) 32.

A földrengések egyébként megjelennek 11 herc körül.

Minden társadalom az oktávval kezdődik. “Cos 1/2. Értetted?

(Azt javaslom, hogy a 2. bécsi iskola hagyja el mellette az oktávot, és hangolja fel a hangszereket is. Niethernek semmi értelme nincs számukra. A dolgok jelenlegi állása oktávok, hangolás és hasonlók tiszta képmutatás. Engedd el, fiúk! Pontoznak. És nyilvánosan játszanak. Amúgy senki sem jön.)

Hh HHm …

Hogyan osszuk meg az oktáv?

Ha a C-n kezdjük, és 3-ra osztjuk (ami jó agybarát arány), akkor egy szép 3 hangos skálát kapunk:

C, E , G #, C

Mit szólnál, ha négyre osztanád:

C, Eb, F #, A, C

“A szép”, mondja az agy “, de túl SZIMETRIKUS. Úgy tűnik, hogy mindkét skála örökkön örökké tart, nem tudom megmondani, mi van. Tudom! Miért nem kevered és nem egyezteted az arányokat, hogy azok kissé egyenetlenebbek legyenek? Akkor ki tudom találni a basszus hangot. “.

És így született meg a” Proto Major Thingy “:

C, E, G, C

és a “Proto Minor Thingy”:

C, Eb, G, C

“Várj egy kicsit “, mondja az agy,” lemaradt egy hangról, nem “te?”.

“Hol?”

“G és C között, nagyon biztos vagyok benne, hogy te volt valami G és C között.

C, E, G, A, C?

“Nizza! Rock and Rollish. Akkor folytassa, mi van a másikkal? ”

C, Eb, G, Bb, C?

“Hé, mi van a Bb-vel? Ilyet még soha nem hallottunk. Milyen arány ez? “

” Ez a 10/12-e “.

” Az 5/6-ra gondolsz. Rendben. Játszd újra “.

C, Eb, G, Bb, C

“Kay, ez kékes. Rendben! De 70 000 évvel ezelőtt, és rengeteg szegény gazember buggol a táj körül, a kardfogatigrisek és hasonlók ropogtatják és rágják. Lotta temetések. Mucho szomorúság. Trumphoz hasonlóan manapság is tudnia kell! Szüksége van a változatosságra. “

” Permutációk? “

” Mutasd. “

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

“Mi az F arány? “

” 4/3 “

” Remek! Tetszik. 5 jegyzet. Adjunk neki fantasztikus görög nevet. Tartsuk egy kicsit. Penta …? ”

“Tonic?”.

“Ez csodálatos”.

“Vicceltem. Tudod, túl szó szerint …”

” Soha nem észlelhető. Félelmetes. Megyünk a Pentatonic-szal. Több! Többre van szükségünk! Most ott vannak a főispánok, iszapkunyhók, ékszerek “

” Szükségem van néhány szabályra “.

” Kay. Ööö .. tartsd meg a Kiskorú harmadik vagy a Fő harmadikat és az Ötödik helyet ez az, és csak mozgassa a többieket … Tudom, így: mozgassa a hetediket felfelé, a hatodikat lefelé, a negyediket felfelé és a másodikat lefelé! “

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C – C, Db, E, G, A, C – C, Db, E, G, Ab, C – C, Db, E, G, Bb, C – C, Db, E, G, B, C

“Hé, akkor ha mindet egymásra helyezzük, akkor” “megkapjuk az oktáv 12 felosztását! Ragyogó!”

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

“Ezért hívtam az AJT, fiam. Ó, és te” üdvözlöm. “

Hozzászólások

• Nagyra értékelem a humort (a sikátoromban), de lehet, hogy kissé túlzásba esett ezen a webhelyen. úgy érted, hogy ” osztod a C-t 3-ra? ”
• @GeneralNuisance Valószínűleg azt jelenti, hogy az oktávot három egyenlő részre osztjuk.
• Valójában egyenlő temperamentumban a középső C 261,63 Hz.
• Nem hiszem, hogy az előfeltétel megalapozott.

A nyugati zene esetében a görögök voltak az elsők találja ki a matematikát, amely természetesen előfordul a kürtök és más fúvós hangszerek által generált harmonikus felhangokban. A görögök ugyanazokat a matematikai arányokat (aranyarányt) alkalmazták a húrokra. Pitagorasz feltalálta a tökéletes (3: 2) ötödik és az oktáv (2: 1) pitagoraszi hangolását, hogy illeszkedjen a természetesen előforduló harmonikus felhangokhoz. Később a görögök kitaláltak 7 modális mérleget, amelyek a pitagoraszi hangoláson alapultak. Hét mód nyolc hanggal egy skálán. Ezek a mérlegek jóniai, dóriai, frígi, lídi, mixolydiai, eoliai és locriai voltak. Még mindig használjuk az Ionian (Major) és aeolian (Minor) nyelveket. A természetes harmonikusok hibája az, hogy az egyes üzemmódok közötti oktávok kissé távol voltak egymástól. Az Aristoxenus a Kr. E. 4. században találta fel az oktávok közötti 12 hangot, megkísérelve ugyanazt az arányt használni az egyes hangok között. Később feltalálták a Keys-et, hogy ezt a 12 hangot otthoni alapként használják minden mérleghez. A probléma az volt, hogy természetüknél fogva ezek a kulcsok kissé távol vannak egymástól. Ennek megoldására J.S. Bach az 1700-as évek elején elősegítette az edzett skála használatát. Kiegyenlítette a tizenkét félhang mindegyikének természetes előfordulási rését. A barokk kori rézfúvós hangszereken egy táska különböző méretű csalókkal kellett beállítani az egyes kulcsokat, amelyekben előadtak . A vonós hangszereknek át kellett hangolniuk minden egyes kulcsváltozást. A temperált skála használatával az előadó újrabehangolás nélkül tudott váltani az összes billentyű között.

Megjegyzések

• Oké, jó történelem, de miért döntött Aristoxenus a 12 helyett a 13 vagy a 11 helyett?
• Aristoxenus ugyanazt az arányt akarta használni 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html elmagyarázza a mögöttes matematikát.
• Ezt akkor a válaszában magyarázza el.
• Ennek a válasznak sok helytelen állítása van. Az aranymetszés általában nem jelenik meg harmóniában. A görög módok nem tartalmazták a jóniai vagy az eolikus nyelveket (és a görög módok nem ugyanazok, mint amelyeket ma ezeken a neveken tanulunk; a görög neveket a középkorban négy ilyen módra alkalmazták, míg eolikus, jóniai és locriai később alakultak ki). A skálán 7 különböző hangmagasság van, nem pedig 8. A temperamentumot jóval Bach előtt találták ki, és a Bach által kedvelt temperamentum nem volt egyenlő. A sárgaréz szélhámosoknak semmi közük a temperamentumhoz, és a húroknak nem kellett újrahangolódniuk minden egyes kulcsváltozáshoz.

Az egyszerű kép néha jobb, mint egy hatalmas magyarázat, ezért arra is ösztönözném, hogy ellenőrizze a grafikonokat ebben a linkben, például a 10edo-t a 19edo-ra vigye az egérrel, hogy lássa a különbségeket a különböző felosztás között: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (csak a legerősebb összecsengéseket nézzük: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 és 3/5 – 5 / 3, a gráf többi része valóban nem fontos az összehasonlításhoz.)

Alapvetően az, amit egyértelműen mutat, az, hogy a 12 hangos osztás az egyetlen, amely a 3/2 és 4/3 arányokat adja meg (a legtöbb importőr *** az oktáv után) szinte tiszta. És a harmadok / hatodak (arányok a ” 5 ” számmal, a következő legfontosabb importőrök ***), nem is olyan rosszak. Semmilyen más felosztás szép számmal (10–19) nem is közelítheti meg ezt. is matematikailag megújítható, és ezért használunk 12 jegyzetet, nem pedig 13, 11 stb.

** (” 1/3 ” csak 4/3 arányt jelent, 2 oktáv eltolással, csak úgy, ahogyan eredetileg bemutatják a számokat.)

*** (Arra gondolok, hogy ha az agyad könnyedén fel akarja ismerni és emlékezni akar a zenére, akkor inkább egy nagy csomó ötödre, negyedre és harmadra van szükséged ahhoz, hogy többé-kevésbé dallamban legyél. zenei építészet, sőt dallamos, különben többnyire disszonáns hangokhoz vezet, zajhoz vezet, és az agyának nehezen megjegyezhető …)

A kérdés megfogalmazása alapján azt mondanám, hogy terv szerint van. Nem véletlen, hogy 12 fél lépés illeszkedik egy oktávba, nem pedig 11 vagy 13. Bár a részletek változhatnak, ha valaki csak hangolást feltételez, elmagyarázom, hogy feltételezem ugyanolyan temperált hangolást. Először tudnia kell, hogy a frekvenciák folytonossága van, ezért a két hang között hangmagasságok vannak. Évszázados kísérletek során konvergáltunk a nyugati diatonikus skála szerinti hangmagasság-kombinációk sajátos megválasztásában. A jegyzetek egy skálán azt tükrözik, ami kellemes a fül (ek) nek egy adott kultúra számára. Idővel a nyugatiak úgy standardizálták a fél lépést, hogy az oktávot 12 lépésre osztották a reláció használatával.

f_octave = 2 * f_tonic

azt a korlátozást szabták meg, hogy két egymást követő fél lépés aránya ugyanaz, bárhonnan is induljon,

f_1 / 2 = r * f_tonic (ez egy kisebb másodperc lenne)

mivel az 1/2 lépés számát kényszerítjük a tonikra 12-es oktávként megkapjuk a kapcsolatot

r ^ 12 = 2 vagy r = 2 ^ (1/12)

Az IMO néhány bejegyzésével itt a ló elé kerül a szekér. Nem tudja bemutatni, hogy az oktávnak csak 12 félhangja van a félhang fenti definíciójának felhasználásával. Inkább azt kérdezi, hogy milyen aránynak kell lennie annak biztosítására, hogy egy oktávban 12 legyen.

Ebből a célból mindenféle alternatív kromatika létezik, amelyek N egyenlő lépéseket próbálnak elhelyezni egy oktávban. Ezek a hangolási egyenletet eredményezik,

r = 2 ^ (1 / N)

Van egy 24 TET, amely 24 egyenlő negyedlépést tartalmaz egy oktávban. És abszolút meg tudná építeni a skálát a következővel:

r = 2 ^ (1/13)

vagy a 2 másik gyökere. Természetesen ezek NEM lennének 1/2 lépés a a kifejezés hagyományos értelmében. Most egy hosszabb történet szól arról, hogyan jutottunk el oda. A 12TET előtt a Just major skála 8 hanggal (az oktávot is beleértve) több mint 5 balesettel rendelkezik. Lehet google-ben keresni, és Wiki-cikkeket találni a témában, de úgy vélem, csak skálák voltak, amelyekben 17 független hangjegy található az oktávban. Bár minden egymást követő hang valószínűleg kissé eltérő arányú. Ezért nem igazán egy 1/2 lépés. Amit 1/2 lépésnek nevezel, attól függ, hogyan tanultad meg a kifejezést.