Ez egy alacsony pontosságú – mégis egyszerű – válasz

Ez lehetővé teszi, hogy csak a bolygók radiális igazítás konfigurációját számolja ki.

Ha közelítést szeretne, mondjuk, akkor hozzávetőlegesen becsüli a bolygók helyzetét mint kéz az órában, ilyesmivel dolgozhatná ki a matematikát.

Tegyük fel, hogy a $ \ theta_i $ a $ i $ bolygó kezdeti szöge a $ t_0 $ időpontban – tetszőleges, de fix pozíció, és $ l_i $ az év hossza – napokban – a $ i $ bolygón.

Ezután folytatja az egyenletrendszer megoldását:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Innen egyszerűen alkalmazza a kínai maradéktételt .

Ha megtalálja a minimális x értéket, megkapja azt a szöget, amelyet a bolygó, amelynek $ t_0 $ értékénél $ \ theta_i = 0 $ szög volt, addig utazott volna, amíg el nem érte a igazítás konfigurációt. A Összefoglalva, hogy a Földet választja az említett bolygóként, majd ossza meg ezt a szöget egy teljes fordulatszámmal ($ 360 ^ {o} $), és megkapja az évek számát a konfiguráció eléréséhez – a $ t_0 $ konfigurációból.

A különböző $ \ theta_i $ fokok az összes bolygón 2014. január 1-jén – ezt használhatja $ t_0 $ -ként:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Vénusz & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Forrás

A különböző $ l_i $ napokban az összes bolygón:

\ begin {align} Merkúr & \ quad 88 \\ Vénusz & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365,26 Mars \ div id = “6612b7302d”>

A helyes válasz: “ never “, többre okokból. Első , amint Florin kommentárjában rámutattak, a bolygó keringései nem síkbeliak, és ezért nem is tudnak egymáshoz igazodni , még akkor is, ha minden bolygót önkényesen elhelyezhetnénk a pályasíkjában. Második , még a tiszta sugárirányú igazítás is soha nem történik meg, mert a bolygó periódusai mérhetetlenek – ezek arányok nem racionális számok. Végül , a bolygók “pályái évmilliók alatt fejlődnek, főként kölcsönös gravitációjuk miatt. Húzni. Ez az evolúció (gyengén) kaotikus, ezért nagyon hosszú ideig kiszámíthatatlan.

A harogaston téves válasza lényegében közelíti a pálya periódusait. a legközelebbi, összehasonlítható számok, amelyek nagyon hosszú időt eredményeztek (bár ezt csupán 10 $ ^ {16} $ tényezővel tévesztette el.)

Sokkal érdekesebb kérdés (és talán az, ami valóban érdekelt ) az, hogy milyen gyakran a 8 bolygó majdnem sugárirányban igazodik . Itt a “ majdnem ” egyszerűen azt jelentheti, hogy “ $ 10 ^ \ circ $ -on belülre, a Napból nézve “. Ilyen esetben a bolygók kölcsönös gravitációs vonzere igazodni fog, és ezáltal az átlagosnál erősebb orbitális változásokat eredményez.

Több mint két bolygó közös periódusának bármilyen becslése (azaz mennyi idő elteltével ismét hozzávetőlegesen illeszkednek a heliocentrikus hosszúsághoz?) nagyon erősen függ attól, hogy mekkora eltérés elfogadható a tökéletes beállítástól.

Ha a $ i $ bolygó periódusa $ P_i $, és ha az elfogadható eltérés időben $ b $ (ugyanazokban az egységekben, mint $ P_i $), akkor a az összes $ n $ bolygó megközelítőleg $$ P \ kb \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $ $, ezért az elfogadható eltérés 10-szeresének csökkentése azt jelenti, hogy a közös időszakot 10-szeresére növeljük. ^ {n-1} $, ami 8 bolygó esetében 10 000 000 tényező. Tehát értelmetlen egy közös időszakot idézni, ha nem adja meg, hogy mekkora eltérés volt elfogadható. Ha az elfogadható eltérés 0-ra csökken (a “tökéletes összehangolás elérése érdekében”), akkor a közös periódus a végtelenségig növekszik. Ez megfelel több hozzászóló “kijelentette, hogy nincs közös időszak, mert a periódusok nincsenek arányosak.

A bolygók számára” a harogaston által felsorolt időszakok, $ \ prod_i P_i \ kb. 1,35 \ -szer10 ^ 6 $, amikor a $ P_i $ a Julián-években mért értékek 365,25 nap, így az évek közötti időszak kb. $$ P \ kb \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$, ha a $ b $ -ot is években mérjük. Ha az időszakokat a legközelebbi napra becsüljük, akkor $ b \ körülbelül 0,00274 $ év és $ P \ kb 1,2 \ alkalommal10 ^ {24} $ év. Ha az időszakokat megközelítőleg 0,01 napra becsüljük, akkor $ b \ kb 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ és $ P \ kb. 1,2 \ times10 ^ {38} $ év.

A fenti képlet levezetése a következő:

Közelítsd a bolygókat “periódusokra egy $ b $ alapegység többszörösével: $ P_i \ kb p_i b $ ahol $ p_i $ egész szám. Ekkor a közös periódus legfeljebb megegyezik az összes $ p_i $ szorzatával. Ezt a terméket még mindig $ b $ egységekben mérjük; az eredeti egységekhez való visszatéréshez szoroznunk kell $ b $ -val. Tehát , a közös időszak kb. $$ P \ kb b \ prod_i p_i \ kb b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

A fenti levezetés nem veszi figyelembe, hogy a $ p_i $ -nak lehetnek közös tényezői, így az igazítás hamarabb bekövetkezik, mint a $ \ prod_i p_i $ javasolja. Az azonban, hogy van-e két $ p_i $ -nak közös tényezője, nagymértékben függ a kiválasztott $ b $ -periódustól, tehát gyakorlatilag véletlen változó, és nem befolyásolja a $ P $ globális függését a $ b $ -tól.

Ha az elfogadható eltérést szög ben fejezi ki, nem pedig idő ben, akkor arra számítok, hogy olyan válaszokat kap, amelyek az elfogadható eltérés nagyságától függenek, erősen a fenti képletnél.

A $ P $ grafikonját lásd: http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html . a $ b $ függvényében minden bolygóra, beleértve a Plútót is.

SZERKESZTÉS:

Itt van egy becslés, elfogadható eltéréssel a szög szempontjából. Azt akarjuk, hogy az összes bolygó a $ δ $ szélesség hosszúságának tartományán belül legyen, az első bolygó hosszúságának középpontjában; az első bolygó szabad. Feltételezzük, hogy az összes bolygó ugyanabban az irányban mozog a planáris körpályákon a Nap körül.

Mivel a bolygók ” periódusok nem arányosak, a bolygók hosszúságának minden kombinációja azonos valószínűséggel fordul elő. A $ q_i $ valószínűsége, hogy a $ i > 1 $ bolygó hosszúsága egy adott időpontban megegyezik az 1. bolygó hosszúságára összpontosított $ δ $ szélesség szegmensében ide $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Az a valószínűség, hogy $ q $, hogy a 2-től $ n $ -ig terjedő bolygók mind ugyanabban a hosszúsági szegmensben vannak, mint az 1. bolygó, akkor $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ balra (\ frac {δ} {360 °} \ jobbra) ^ {n-1} $$

A valószínűség lefordítása átlagos periódus szerint meg kell becsülnünk, hogy az összes bolygó mennyi ideig igazodik ($ δ $ -on belülre), valahányszor mindegyik igazodik.

Az első két bolygó, amely elveszíti kölcsönös beállását, a leggyorsabb és leglassabb a bolygók. Ha szinódikus periódusuk $ P _ * $, akkor egy vonalban lesznek egy $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ intervallumban, majd egy ideig ki nem igazodnak, mielőtt újra összehangolódnak. . Tehát az összes bolygó minden igazítása körülbelül $ A $ intervallumig tart, és ezek a beállítások együttesen a $ q $ töredékét fedik le. Ha az átlagos periódus, amely után az összes bolygó újabb igazodása történik, $ P $, akkor nekünk $ qP = A $ -nak kell lennie, tehát $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ balra (\ frac {360 °} {δ} \ jobbra) ^ {n-2} $$

Ha csak két bolygó van, akkor $ P = P _ * $, a vártnak megfelelő $ δ $ -tól függetlenül.

Ha sok bolygó van, akkor a leggyorsabb bolygó sok gyorsabb, mint a leglassabb, így a $ P _ * $ majdnem megegyezik a leggyorsabb bolygó keringési periódusával.

Itt is az egymást követő igazítások közötti átlagos idő becslése nagyon érzékeny a választott eltérési határra (ha kettőnél több bolygó vesz részt), ezért értelmetlen egy ilyen kombinált időszakot idézni ha nem is említi, hogy milyen eltérés volt megengedett.

Fontos megjegyezni azt is, hogy (ha több mint két bolygó van) ezek mindegyike (közel) igazodása nem történik meg rendszeresen. intervallumok.

Most csatlakoztassunk néhány számot. Ha azt szeretné, hogy mind a 8 bolygó 1 hosszúsági fokon belül legyen, akkor két ilyen igazítás közötti átlagos idő nagyjából megegyezik a leggyorsabb bolygó $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ keringésével. A Naprendszer számára a Merkúr a leggyorsabb bolygó, körülbelül 0,241 éves periódussal, tehát az átlagos idő mind a 8 bolygó két beállítási helye között 1 hosszúsági fokon belül körülbelül $ 5 × 10 ^ {14} $ év.

Ha már elégedett a hosszúsági fok 10 fokán belüli igazítással, akkor a két ilyen igazítás közötti átlagos időszak nagyjából megegyezik a Merkúr $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ keringésével, ami körülbelül 500 millió év.

Mi a legjobb összehangolás, amire számíthatunk az elkövetkező 1000 évben? 1000 év kb. 4150 pálya a Merkúr, tehát $ (360 ° / δ) ^ 6 \ kb. 4150 $, tehát $ δ = kb. 90 ° $. A véletlenszerűen kiválasztott 1000 éves intervallumban a 8 bolygó átlagosan egy beállítást végez egy 90 ° -os szegmensen belül.

Technikailag a 8 bolygó igazítása közötti időszak megtalálásának igazi módja az, ha megtaláljuk az LCM-t mind a 8 éves hosszukra.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Megértem, hogy ez egy durva becslés, mivel ezeket a legközelebbi egész számra kerekítjük, de jó ötletet ad a szükséges napok számából.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Ez hány év.

Megjegyzések

• Úgy tűnik, hogy ez ugyanaz a módszer, amelyet a Caters ‘ s válaszban leírunk. r .