Milyen fizikai jelentősége van a Heisenberg-csoportnak?

Előfordulhat, hogy látni fogja:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf 13. fejezet,

azaz a “Kvantummechanika matematikusoknak: A Heisenberg csoport és a Peter Woit Schrodinger-ábrázolása “, ahol a Heisenberg-csoport jelentőségét részletesen tárgyaljuk. De fizikai jelentősége NEM a fizikai helyzet szimmetriájának csoportja. Ezért vigyázzon a kanonikus kommutációs reláció és a véges közötti szoros analógiákra ( mondja a $ n $ ) dimenziós Hiesenberg Lie csoportot $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . A $ \ left [R \ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i kapcsolat RHS-jén lévő dolog } $ a véges dimenziós algebrában $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NEM az identitásmátrix – ez egyszerűen valami, ami a Lie algebrában minden mással ingázik. Hermann Weyl volt az, aki rámutatott, hogy a kanonikus kommutációs reláció nem utalhat véges dimenziós Lie algebrára: ilyen algebrákban egy Lie zárójel $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (négyzetmátrixok között) nulla nyomot mutat, de az identitásmátrix (vagy skaláris többszörös, mint a CCR RHS-jén) nem. Végtelen dimenziós Hilbert-tereken kell átadni az operátoroknak ( $ pl. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ), hogy megtalálja a kanonikus kommutációs kapcsolat teljes megvalósítását.

Egy másik módszer annak megértésére, hogy a Heisenberg Lie algebra véges dimenziós mátrix viselkedése gyökeresen eltér a CCR-től, maga a bizonytalansági elv. Az RMS bizonytalanságainak szorzata két nem ingázó megfigyelhető $ \ hat {a}, \ hat {b} $ szimulán mérésekhez kvantumállapotot adva math-container “> $ \ psi $ alulról a pozitív valós szám határolja $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ ahol $ \ balra [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (lásd a Merzbacher “Quantum Mechanics” 3. kiadásának 10.5. szakaszát). Ha a $ c $ egy véges négyzetmátrix, és mint a Heisenberg-algebrában, ez sem teljes sor rangú, vannak bizonyos állapotok (a $ c $ “s üres hely), ahol a bizonytalansági szorzat semmissé tehető. Tehát a véges dimenziós mátrix algebra” nem modellezheti Heisenberg “fizikai posztulátumát.

Lásd a Heisenberg-csoportról szóló Wikipedia-cikk is.

Megjegyzések

• Kisebb megjegyzés a válaszhoz (v2): A jel a $ megjelenített Schroedinger-ábrázolásában p $ nem a hagyományos jel.