Mit jelent a Fourier-transzformációban szereplő exponenciális kifejezés?

Ez egy komplex exponenciális, amely örökké forog a komplex sík egység körön:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

A Fourier-transzformációra számíthat korreláció a $ f (t) $ és az egyes frekvenciák komplex exponenciái között, összehasonlítva, hogy mennyire hasonlítanak egymásra. Az ilyen komplex exponenciálok olyan jó minőségűek, hogy időzítettek lehetnek eltolva, szorozva őket összetett számú egységmagnival tude (állandó komplex exponenciális). Ha a Fourier-transzformáció eredménye egy adott frekvencián nem valós komplex szám, akkor ennek a frekvenciának a komplex exponenciáját meg lehet szorozni azzal a komplex számmal, hogy az időben eltolódjon, így a $ f (t) $ maximalizálva van.

Ha nem szeret gondolkodni képzeletbeli számok, komplex számok és függvények, alternatívaként gondolhat az FT komplex exponenciájára, mint csupán rövidítésre, hogy mind a szinusz, mind a koszinusz hullámot (azonos frekvenciával) összegyúrja egyetlen funkcióba, amelyhez kevesebb kréta szükséges a táblán írjon.

Akár Fourier-transzformáció, akár Laplace-transzformáció, akár Z transzformáció stb., az exponenciális a lineáris és időinvariáns (LTI) operátorok sajátfüggvénye . ha az “idő” exponenciális függvénye megy egy LTI-be, akkor egy hozzá hasonló (de a sajátérték által méretezett) exponenciális jelenik meg. amit az F.T. nem az, hogy egy általános függvényt ezeknek az exponenciáloknak az összegére bont. ami látható a inverz Fourier-transzformáció megtekintésével.

A Fourier-transzformáció:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

egy függvényt a harmonikus függvények szerves részévé konvertál. Ezeket bűnöknek és koszinuszoknak gondolhatja, mert $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. A Fourier-transzformáció a Fourier-sorozat folytonos formájaként, amely bármilyen periodikus jelet valós valós periodikus (harmonikus) jelek összegévé alakít át:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

A Fourier-transzformációban a $ a_n $ és $ együtthatókra gondolhat b_n $ egy folyamatos függvény értékeit átmegy. Az összehasonlítás további folytatásához a sorozatnak van egy komplex változata:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Megjegyzések

• Próbáljon ragaszkodni az egy független változóhoz, akár $ t $, akár $ x $, de ne mindkettőhöz. Kérjük, próbáljon meg találni egy jobb szót is, mint a ‘ hearken ‘ szót, amely nem ‘ ennek semmi értelme.
• Hiányzik a $ \ omega $ a szinuszosok és az exponenciális függvény argumentumaiban is: $ \ cos (n \ omega t) $ stb.
• @MattL. Szükségem van $ \ omega $ -ra? A Fourier-transzformációnak $ e ^ {i \ omega t} $ értéke van, de a sorozatban ” $ n $ ” helyet $ \ omega $. Nem ‘ igaz ez?
• Nem, $ \ omega = 2 \ pi / T $, ahol $ T $ az $ f (t) időszaka $, azaz hacsak $ T = 2 \ pi $, $ $ omega $ kell.
• Ok. Értem, mire gondol.

Tekintsük a esetet $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Majd

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Amikor $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , mindkét integráns nulla körül ingadozik, és az integrálok gyakorlatilag nullaak.Az egyetlen eredmény, amely nem nulla,

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ korlátozza _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ korlátozza _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ korlátozza _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

amelyet gyakran $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ kifejezéssel fejeznek ki nagy (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Szavakkal, az argumentum adott értéke $ \ omega $ , a $ e ^ {- i \ omega t} $ A tényező a $ f (t) $ összetevőt ezen a frekvencián $ 0 $ -ra és az összes többi komponensre fordítja. távol a nullától. Ekkor a végtelen integrál a komponens szilárdságának mértékét adja meg a $ 0 $ értéknél.

Vegye figyelembe, hogy ha a $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , majd $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Ez valójában azt jelenti, hogy a $ \ omega_0 $ jele egyértelműen levezethető a $ e ^ {i \ függvényből omega_0 t} $ . Nem vezethető le a $ \ cos (\ omega_0 t) $ értékből, mert trigonometrikusan megegyezik a $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . A Fourier-transzformáció úgy kezeli ezt a kétértelműséget, hogy nulla válaszokat ad mind a $ \ omega = \ omega_0 $ , mind a $ \ omega = – \ omega_0 $ . Ez nem azt jelenti, hogy a $ \ cos (\ omega_0 t) $ mindkét frekvenciát tartalmazza, mert a $ \ omega_0 $ csak egy értéke lehet. A helyes értelmezés szerint a $ e ^ {i \ omega_0 t} $ több, legalább kevesebb információt tartalmaz, mint a $ \ cos (\ omega_0 t) $ . A $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ képlet több információnak tűnik, de valójában törlés információkból.

Megjegyzések

• ” Ez nem azt jelenti, hogy $ cos (\ omega_0 t) $ mindkét frekvenciát tartalmazza, mert a $ \ omega_0 $ csak egy értéket tartalmazhat. Amit ‘ nem mondhat el, az a $ \ omega_0 $ jele. Bármelyik érvényes értelmezés, hasonlóan a négyzetgyök kiválasztásához. Tehát az egyezmény szerint a valós értékű tiszta hangok frekvenciája pozitívnak tekinthető. $ \ $ És $ \ \ ezért \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ arra a következtetésre jutunk, hogy a $ x ^ 2 $ nem csupán a valós szám egy függvénye? Titokban két összetett funkcióból áll? Ha igen, melyik kettő? … mert ugyanolyan könnyen meghatározhatnám a $ f (x) $ -t, mint $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Ez nem ‘ t a függvénybontásról. Ugyanolyan készségesen mondhatta volna el $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $, ha éppen olyan érvelésről van szó. Az ” kifejezés mindkét frekvenciát tartalmazza ” az FT kontextusában van (ebben az esetben folyamatos). Ha a $ cos $ -nak csak egy frekvenciája lenne, csak egy nem nulla érték lenne a spektrumban.
• Nem gondolom, hogy van értelme vitatkozni arról, hogyan sok frekvenciát tartalmaz egy általános jel, anélkül, hogy megegyeznénk abban, hogy ” ésszerű ” periodikus függvényekre bomlás értendő-e. A A frekvencia ekkor csak a a frekvencia periodikus összetevője rövidítése. Az ésszerű bontás például nem tartalmaz olyan elemeket, amelyek teljesen megszüntetik egymást, vagy azonos elemeket.
• @Olli – Köszönöm a szerkesztői segítséget a deltáimhoz. Azt hittem, hogy nem néz ki ‘ nagyon jól, de nem értettem ‘, hogy miért.