Tegyük fel, hogy van egy $ u $ függvényünk, amelyet diszkrét módon definiálunk egy gömbben: csak a $ u $ értékeket ismerjük. a gömbháló $ (i, j, k) $ csomópontjaiban, ahol $ i $ sugárkoordináta, $ j $ a $ \ varphi $ szög koordinátája, $ k $ a $ \ psi $ szög koordinátája .
Vegyünk egy vektorfüggvényt $$ \ nabla u_ {i, j, k} = \ left (\ frac {\ részben u} {\ részleges r} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i \ sin \ psi_k} \ frac {\ részleges u} {\ részleges \ varphi} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i} \ frac {\ részleges u} {\ részleges \ psi} _ {i, j, k} \ right) – $ $ gradiens $ u $.
Tudnom kell a $ \ nabla u_ {i, j, k} $ értékeit z tengelyen derékszögű koordinátákban, amely megfelel a $ \ psi = 0 $ – tengelynek a gömb koordinátákban, de a fenti képletet nem használhatjuk, mert $ \ psi = 0 $ esetén a második tag a végtelenbe fordul.
Valójában a numerikus derivált képletének segítségével megtalálhatjuk a $ \ frac {\ partial u} {\ részleges z} $ értékeit, de gondot okozunk a $ \ frac {\ megtalálásával részleges u} {\ részleges x} $, $ \ frac {\ részleges u} {\ részleges y} $, mert a rács nem téglalap alakú. Tudna nekem segíteni ebben a dologban, és tanácsot adni, mit tegyek?
Megjegyzések
- Nem tudná kiszámolni a $ (r, \ varphi, \ psi) $ koordináta-rendszer? Ennek meg kell adnia egy vektort, amelyet aztán kivetíthet a $ x $ – $ y $ – és $ z $ -tengelyekre, hogy megkapja a gradiens $ x $ – $ y $ – és $ z $ -összetevőit
- Nem, nem számolhatunk numerikus deriváltat, mert a $ \ psi = 0 $ $ \ varphi $ -angle nincs meghatározva, és a képletben szingularitás van.
- Valószínűleg van megoldás kvaternereket használ, de elég bonyolult kitalálni, hogy pontosan mi néz ki wrt. a nomenklatúrád. A harcolni kívánt effektust általában " gimbal-lock
- Találtam egy változatot a dolgok helyes kezelésére: itt használhatjuk a legkisebb négyzet módszert a gradiens rekonstrukciójára, de nem találtam pontos magyarázatot arra, hogyan kell használni
- Talán ' ez az eset – közepesen jól viselkedő $ u $$ esetében -, hogy $ \ lim _ {\ psi \ to 0} \ frac {1} {\ sin \ psi} \ frac {\ részleges u} {\ részleges \ phi} = 0 $. De nem hiszem, hogy ' nem gondolom, hogy a vektorod középső alkotóelemének van jelentése, tehát ha ' ezt a poláris differenciálegyenletbe csatlakoztatja koordinátái a differenciálegyenlet szintén nem ad súlyt a középső koordinátának.
Válasz
Háromféleképpen lehet kerülje ezt a helyzetet, de használat előtt ellenőrizni kell, hogy ez a módszer megfelelő-e a számítási hiba miatt:
1) Green-Gauss cellamódszer: itt a gradiens definícióját használjuk:
$$ \ nabla u_i \ kb \ frac {1} {V_ {i}} \ int \ korlátozza _ {\ részleges V_i} ud \ overline {S} \ kb \ sum \ limit_ {k = 1} ^ {n} {u_ {f_k} S_k \ overline {n} _k}, $$ ahol $ k $ – a $ V_ cella szomszédainak száma {i} $
2) Legkisebb négyzetek módszere: a hiba
$$ \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {d_ {ik}} E_ {i, k} ^ {2}}, E_ {i, k} = \ nabla Az u_i \ cdot \ Delta r_ {i, k} + u_i-u_k $$ értékeket minimalizálni kell, ezért megkapjuk a $ \ nabla u_i $
3) Interpolációs módszer összetevőit. A színátmenet értéke interpolálódik a gradiens vektor-függvény értékeiből.