A QM spin operátor gamma mátrixokban kifejezhető, és egy olyan gyakorlatot próbálok végrehajtani, ahol igazolok egy azonosság, amely a következőt használja: $ \ gamma ^ 5 $ és $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Első kísérletem során ezt közvetlenül a Dirac ábrázolásban tettem, de a gyakorlat azt állítja, hogy ezt nem tudom megtenni, tudna valaki tanácsot adni? Van valamilyen identitás vagy trükk, amely lehetővé tenné ezt nekem?
Tisztázandó, hogy a $ \ alpha $ a következő mátrix, ahol a nulla nélküli elemek a Pauli-mátrixok:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
ahol
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {tömb}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
megjegyzések
- Mi az a $ \ alpha $ és $ {\ bf S} $ kifejezetten?
- az alfa az az a mátrix, amelynek bejegyzései nem a vezető átlón Pauli-mátrixok találhatók, de nem biztos benne, hogy ez hogyan segít.
- Hogyan várja el, hogy segítsünk az identitás igazolásában az összes érintett szimbólum egyértelmű meghatározása nélkül?
- @Hollis Biztosan elmondhatja legalább azt, amit a $ \ alpha $ jelentenie kell. ' nem szabványos jelölés, mint a gamma mátrixok.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ ugyanolyan szabványos, mint a $ \ gamma $ mátrixok. A legtöbb szokásos fizikakönyv még a $ \ gamma $ mátrixok előtt is bevezeti a $ \ mathbf {\ alpha} $ -t.
Válasz
A Wikipédia konvencióit követem a következő meghatározásokkal: $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ ahol $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Ezt elmondva megjegyezzük, hogy $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ kifejezetten, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Majd, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Így $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$