Statisztika: Az alfa és a béta kapcsolata

 Sick Healthy Test positive TP FP Test negative FN TN 

$ \ alpha $ a hamis pozitív arányt jelöli, amely $ \ alpha = FP / (FP + TN) $. A $ \ beta $ a hamis negatív arány, amely $ \ beta = FN / (TP + FN) $. A helyzet grafikus ábrázolásához egyszerűen R szkriptet írtam.

alphabeta <- function(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=130, sd.healthy=10, cutoff=120, n=10000, side="below", do.plot=TRUE) { popsick <- rnorm(n, mean=mean.sick, sd=sd.sick) pophealthy <- rnorm(n, mean=mean.healthy, sd=sd.healthy) if ( side == "below" ) { truepos <- length(popsick[popsick <= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy <= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy > cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick > cutoff]) } else if ( side == "above" ) { truepos <- length(popsick[popsick >= cutoff]) falsepos <- length(pophealthy[pophealthy >= cutoff]) trueneg <- length(pophealthy[pophealthy < cutoff]) falseneg <- length(popsick[popsick < cutoff]) } twotable <- matrix(c(truepos, falsepos, falseneg, trueneg), 2, 2, byrow=T) rownames(twotable) <- c("Test positive", "Test negative") colnames(twotable) <- c("Sick", "Healthy") spec <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[1,2]) alpha <- 1 - spec sens <- pow <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[2,1]) beta <- 1 - sens pos.pred <- twotable[1,1]/(twotable[1,1] + twotable[1,2]) neg.pred <- twotable[2,2]/(twotable[2,2] + twotable[2,1]) if ( do.plot == TRUE ) { dsick <- density(popsick) dhealthy <- density(pophealthy) par(mar=c(5.5, 4, 0.5, 0.5)) plot(range(c(dsick$x, dhealthy$x)), range(c(c(dsick$y, dhealthy$y))), type = "n", xlab="", ylab="", axes=FALSE) box() axis(1, at=mean(pophealthy), lab=substitute(mu[H[0]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.healthy)), cex.axis=1.5,tck=0.02) axis(1, at=mean(popsick), lab=substitute(mu[H[1]]~paste("=",m, sep=""), list(m=mean.sick)), cex.axis=1.5, tck=0.02) axis(1, at=cutoff, lab=substitute(italic(paste("Cutoff=",coff, sep="")), list(coff=cutoff)), pos=-0.004, tick=FALSE, cex.axis=1.25) lines(dhealthy, col = "steelblue", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x<=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x<=cutoff],0), col = "grey65") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff, dhealthy$x[dhealthy$x>=cutoff], cutoff), c(0, dhealthy$y[dhealthy$x>=cutoff],0), col = "grey65") } lines(dsick, col = "red", lwd=2) if ( side == "below" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x>cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x>cutoff],0) , col="grey90") } else if ( side == "above" ) { polygon(c(cutoff,dsick$x[dsick$x<=cutoff],cutoff),c(0,dsick$y[dsick$x<=cutoff],0) , col="grey90") } legend("topleft", legend=(c(as.expression(substitute(alpha~paste("=", a), list(a=round(alpha,3)))), as.expression(substitute(beta~paste("=", b), list(b=round(beta,3)))))), fill=c("grey65", "grey90"), cex=1.2, bty="n") abline(v=mean(popsick), lty=3) abline(v=mean(pophealthy), lty=3) abline(v=cutoff, lty=1, lwd=1.5) abline(h=0) } #list(specificity=spec, sensitivity=sens, alpha=alpha, beta=beta, power=pow, positiv.predictive=pos.pred, negative.predictive=neg.pred) c(alpha, beta) } 

Nézzünk meg egy példát. Feltételezzük, hogy a beteg vérében a vérjelző átlagos szintje 100, szórása 10. Az egészséges emberek körében az átlagos vérszint 140, standard szórással 15. A klinikus 120-as határértéket állít be. / p>

alphabeta(mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, cutoff=120, n=100000, do.plot=TRUE, side="below") Sick Healthy Test positive 9764 901 Test negative 236 9099 

Látja, hogy az árnyékolt a területek kapcsolatban vannak egymással. Ebben az esetben $ \ alpha = 901 / (901+ 9099) \ kb. 0,09 $ és $ \ beta = 236 / (236 + 9764) \ kb. 0,024 $. De mi történik, ha a klinikus másképp állította be a határértéket? Állítsuk be egy kicsit alacsonyabbra, 105-re, és nézzük meg, mi történik.

 Sick Healthy Test positive 6909 90 Test negative 3091 9910 

A $ \ alpha $ értéke nagyon alacsony, mert szinte egyetlen egészséges embert sem diagnosztizálnak betegnek. De a $ \ beta $ értéke növekedett, mert a magas vérmarkerekkel rendelkező betegeket hamisan egészségesnek minősítik.

Végül nézzük meg, hogyan változik a $ \ alpha $ és a $ \ beta $ a különböző cutoffs:

cutoffs <- seq(0, 200, by=0.1) cutoff.grid <- expand.grid(cutoffs) plot.frame <- apply(cutoff.grid, MARGIN=1, FUN=alphabeta, mean.sick=100, sd.sick=10, mean.healthy=140, sd.healthy=15, n=100000, do.plot=FALSE, side="below") plot(plot.frame[1,]~cutoffs, type="l", las=1, xlab="Cutoff value", ylab="Alpha/Beta", lwd=2, cex.axis=1.5, cex.lab=1.2) lines(plot.frame[2,]~cutoffs, col="steelblue", lty=2, lwd=2) legend("topleft", legend=c(expression(alpha), expression(beta)), lwd=c(2,2),lty=c(1,2), col=c("black", "steelblue"), bty="n", cex=1.2) 

Ön azonnal láthatja, hogy a $ \ alpha $ és a $ \ beta $ arány nem állandó. Ami szintén nagyon fontos, az a hatás nagysága. Ebben az esetben ez lenne a különbség a vérmarkerek szintjének átlagában a betegek és az egészséges emberek körében. Minél nagyobb a különbség, annál könnyebben lehet elválasztani a két csoportot egy elvágással:

Itt van egy “” tökéletes “teszt abban az értelemben, hogy a 150-es határérték megkülönbözteti a betegeket az egészségesektől.

Bonferroni beállítások