A Feynman-Kac tétel kimondja, hogy a $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ van egy mérhető $ g $ függvény, amely $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $ $ megfelelő $ h $ határfeltétellel: $ g (T, x) = h (x) $. Azt is tudjuk, hogy $ g (t, x) $ formája $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Ez azt jelenti, hogy egy opciót a $ h (x) $ kifizetési függvénnyel $ T $ -ra tudok beárazni a differenciálegyenlet megoldásával a sztochasztikus folyamat figyelembevétele nélkül. / p>
Van-e intuitív magyarázat arra, hogyan lehet modellezni az Ito-folyamat sztochasztikus viselkedését differenciálegyenlettel, még akkor is, ha a differenciálegyenlet nem tartalmaz sztochasztikus komponenst?
Megjegyzések
- A várakozáson belül nem szabad ‘ t tenni $ h (X_T) $ -t $ h (X_t) $ helyett ?
Válasz
Martingál + Markovian
Íme a motiváció. A feltételes elvárások a feltételes elvárások torony tulajdonsága miatt martingálok (könnyen megmutatható gyakorlat). Tegyük fel, hogy $ r = 0 $, a kockázatsemleges árazási tétel szerint a $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ bármely származtatott termék ára értékpapír, amelynek $ X $ az alapul szolgáló eszköze, és a kifizetési funkció $ h $, feltéve, hogy az alapul szolgáló értékpapír és maga a származékos termék nem fizet köztes cash flow-kat. Markoviánus körülmények között előfordulhat, hogy a származtatott termék ára az aktuális eszközár és csak a lejáratig eltelt idő mérhető függvénye, mondjuk egy $ g (t, x) $ függvény. Ezután Ito lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Mivel $ g $ egy (eltolt) martingál, a drift kifejezésnek nullának kell lennie nek. a határfeltétel nem arbitrázsból származik, ezt nézze meg azzal, hogy észreveszi, mi az $ g (T, x) $ az először megadott definícióból (ne feledje a mérhetőséget, ha feltételes várakozást vesz fel). class = “comments”>
Válasz
A Feynman-Kac tételnek elsősorban árképzési kontextusban van értelme. Ha tudja, hogy valamilyen függvény megoldja a Feynman-Kac egyenletet, akkor a folyamat szempontjából várakozásként ábrázolhatja annak megoldását. ( átadja ezt a dokumentumot )
Másrészt egy árazási függvény megoldja az FK-PDE-t. Ezért gyakran megpróbáljuk megoldani a PDE-t, hogy zárt űrlapot kapjunk. ( ezt biztosítják a 22. oldaltól kezdődő dokumentum )
Nem használná a Feynman-Kac-ot egy sztochasztikus folyamat szimulálására. Másrészt sztochasztikus eljárással megoldást találhat az FK-PDE-re ( lásd itt )
Szerkesztés 2014.02.26 .: Találtam egy dokumentumot, amely megpróbálja elmagyarázni az átmeneti sűrűség és az FK-PD ( lásd itt az 5. oldaltól kezdve )
Emellett kapcsolat van az FK-Formula és a Sturm-Liouville egyenletek között, amelyek felhasználhatók a bontáshoz a Brown-ösvények közül. ( lásd ezt a cikket )
Megjegyzések
- Köszönöm a linkeket! A hozzászólás számos alkalmazást és felhasználást ismertet a Feynman-Kac tételhez. Legfőbb érdeklődésem ezen a ponton az, hogy megértsem, miért igaz a tétel, vagyis a tétel mögött rejlő intuíció.
- A bizonyítást itt javasolnám: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula A bizonyítékok olvasása gyakran segít megérteni a tétel létrejöttét. Vagy érdekel egy magyarázat Phyiscs szempontból?
Válasz
Ahogy gondolom ez az, hogy a PDE leírja az időfüggő valószínűségi eloszlás folyamatát. A sztochasztikus folyamat leírja az egyéni megvalósításokat (véletlenszerű séta sodródással), de ha nagy számban futott belőlük, akkor létrejött egy eloszlás.
A PDE elmondja, hogy ez az eloszlás hogyan változik az időben (első kifejezés) a determinisztikus sodródás (a második tag) és a diffúzió (a harmadik kifejezés, amely összekapcsolja a „sok véletlenszerű sétálót” és a terjedést valószínűségi eloszlás, amely leírja, hogy átlagosan meddig jutottak el.) A valószínűségeloszlás általában delta függvényként indul az ismert kezdeti feltétel miatt.
Megjegyzések
- Kicsit zavart vagyok. Megvan a $ g (t, x) $ árazási függvény PDE-je a sodródástól és a volatilitástól eltekintve, az FK-PDE-től nem sok információt lehet levonni az eloszlás tekintetében
Válasz
Két lépésben közelítsük meg ezt a választ.
Először is, Meglehetősen intuitívnak tartom, hogy egy adott sztochasztikus PDE esetében létezik egy determinisztikus PDE, amely a sűrűséget későbbi időre alakítja. Ez az egyenlet az előremutató Kolmogorov vagy Fokker-Plank egyenlet. Miért intuitív? Ismerjük a Brown-mozgás jövőbeli eloszlását is (definíció szerint), miért kellene ennek megváltoznia egy összetettebb sztochasztikus kifejezésért?
Másodszor, ha megkapta az előreinduló egyenletet, akkor a matematika kérdése is származtassuk annak időbeli fordított változatát. Ez a Feynman-Kac egyenlet, és az eloszlást az időben visszafelé terjeszti.