Megjegyzések
- Az idő végtelen – azaz a leeső tárgy ' sebessége soha nem pontosan olyan gyors, mint a végsebesség. Ha tudni szeretné, hogy mennyi időbe telik a végsebesség 99% -ának kimondása, az jobb kérdés!
- @alephzero: Nos, egy reálisabb forgatókönyvben, ahol a sűrűség nagyobb a föld, egy kellően magasról alá zuhanó tárgy végül eléri " terminálját " sebességét (pillanatnyilag, relatív az áram sűrűségére). És akkor a sebessége csökken, amikor a levegő sűrűbbé válik, és az objektum szuperterminális sebességgel eléri a földet.
- Ha egy tárgy változó vonóerővel rendelkezik (például ejtőernyős, vagy nem egy gömböt és zuhan), végsebessége az irányától függően eltérő lesz. Ebben a forgatókönyvben néha meghaladhatja a terminális sebességét.
- @Ben: Még egy gömb esetében sem lesz állandó az ellenállás, mert a Cd általában a Reynolds-számmal változik, amely folyamatosan csökken a terminálig. eléri a sebességet.
Válasz
Egy leeső tárgy nem éri el a végsebességet; aszimptotikusan közelíti meg a végsebességet a $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac) képlet szerint {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Itt $ m $ az objektum tömege, $ g $ a gravitáció miatti gyorsulás, $ \ rho $ az a folyadék sűrűsége, amelyen keresztül az objektum esik, $ A $ az objektum vetített területe, a $ C_d $ pedig a húzási együttható .
Tehát $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ a végsebesség és $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ az időskála amelyet a végsebesség a $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}} szerint közelít meg. $$ At $ t = \ tau $ a az objektum a terminális sebesség 76% -án van. A $ t = 2 \ tau $ sebességnél az objektum a végsebesség 96% -án van. A $ t = 3 \ tau $ értéknél a végsebesség 99,5% -án van.
Megjegyzések
- Ne feledje, hogy $ \ tanh x \ kb. 1 – 2 e ^ {- 2x} $ nagy $ x $ esetén, így a $ v $ és a terminál sebessége közötti különbség idővel hozzávetőlegesen exponenciálisan csökken. Ez hasznos ökölszabály lehet; ha a $ v $ valamivel 1% -kal a $ v_t $ alatt van, és 10 másodperccel később 0,5% -kal a $ v_t $ alatt van, akkor a $ v $ 10 másodperccel később 0,25% -kal lesz kevesebb, mint $ v_t $.