Itt van egy valószínűségi kérdés (valószínűleg nagyon egyszerű), nem vagyok biztos benne, hogyan lehet megoldani:
Gamma eloszlás $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alfa, \ béta) $, $ \ mu = 20 $ és $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Az előző kérdés a $ \ alpha $ és $ \ beta $ értékeinek megkeresése volt, amit a $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ és $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ használatával tettem meg alfa $$ \ beta ^ 2 $.
A gamma terjesztésű cdf esetében a tankönyvem szerint $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ ahol $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ a szokásos gammaeloszlás cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alfa)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Ennek integrálásához úgy tűnik, hogy a láncszabályt kell használnom, de professzorunk soha nem tette egy példa. Van-e parancsikon módszer? Soha nem használtuk az integrációt valós példában, csak a pdf meghatározásához és a cdf megszerzéséhez a különböző disztribúciókhoz.
Szerkesztés
A példák a a szokásos gammaelosztási problémákat tartalmazó tankönyv szerint a $ F (x; \ alpha) $ értékeit keresse meg a függelék A.4. táblázatában. Amikor megnéztem, hiányzott az A.4. táblázat, ami igazán csalódást okoz nekem. online szabványos gamma-terjesztési táblázatok, amelyeket kinyomtathatok és átadhatok a feladattal? Ellenőriztem a Wolfram Alpha-t, de nem volt ilyen. Casiónak van valami , de nem vagyok biztos benne, hogy mi az alakja és a méretaránya.
2. szerkesztés
Megtalálta azt a táblázatot. A könyv elején az A.5 táblázat jött közvetlenül az A.3 után, ezért gondoltam azt, hogy hiányzik az A.4. Elmentem a könyvtárba, hogy megnézzem ugyanaz a tankönyvük volt, voltak, és valakinek volt józan esze (amire nekem nem volt szükségem), hogy a könyv hátuljába nézzen, és ott volt. Nincs szükség további segítségre.
Megjegyzések
- alkatrészenként kell integrálnia ismételten kezdődően $ u = y ^ {\ alpha-1} $ és $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ és $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Valahányszor ezt megteszi, kap egy integrált egy kisebb kitevővel $ y $ -ért. Ha a $ \ alpha $ egész szám, akkor befejezheti a folyamatot. Ha a $ \ alpha $ nem egész szám, akkor a dolgok bonyolultabbak.
- @dilip válaszként tegye meg a megjegyzését.
- @DilipSarwate, a $ \ alpha $ nem egész szám, ez a cdf akkor a hiányos gammafunkció .
- És erősen kétlem, hogy a részleges integráció volt a cél a gyakorlatból.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Válasz
Amint azt a valószínűség-logika javasolja, kommentem válaszokká alakul.
Többször kell integrálnia , amelynek kezdőbetűje: $ u = y ^ {\ alfa -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, és a $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Mivel $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, minden egyes alkalommal, amikor alkatrészenként végez integrációt, integrált kap egy kisebb e-vel xponent $ y $ -ra a jobb oldalon. Ha a $ \ alpha $ egész szám (ahogy ebben a konkrét esetben is), akkor a folyamatot egy $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $ -val fejezheti be. Ha a $ \ alpha $ nem egész szám, a dolgok bonyolultabbak, mivel a $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ esetében nincs általános zárt formájú kifejezés, ahol $ 0 < \ gamma < 1 $. Ahogy Xi “an megjegyezte, a cdf a hiányos gamma függvény, és a számértékeit táblázatosan adtuk meg.
Ha az alkatrészekkel történő integráció nem , akkor ennek a gyakorlatnak a javaslata Elvis megjegyzésében érdemes ellenőrizni, hogy a professzor azt akarja-e, hogy egy gamma véletlen változó értékét gondolja egy Poissoni véletlenszerű folyamat érkezési idejére, és ebből a szempontból oldja meg a problémát.
Megjegyzések
- Van online táblázat az x és az alfa különféle értékeire? A tankönyvemben csak a normál görbékre és a t eloszlásokra vonatkozó táblázatok vannak. Megpróbáltam keresni egyet, de túl sok Chi-négyzet táblát találtam helyettük.
- Nem tudom
online táblázatot, de a MATLAB kiszámítja az Ön számára az értékeket , és feltételezem, hogy az R vagy a Mathematica vagy a Wolfram Alpha vagy a Maple vagy … stb. ugyanezt tenné.