Zavart az alapidőszak kiszámítása kapcsán?

A trigonometrikus függvények lényegében exponenciálisak. Így az érv megduplázása megfelel a függvény négyzetének (bizonyos értelemben). Ebben az esetben a szögösszeadási képlet alkalmazásával látható:

$$ \ begin {aligned} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {aligned} $$

Készítés

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Alkalmazása a egyenlet:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Ebből elég egyértelmű, hogy az alapvető időszak 0,25, mivel ez $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Kérésre:

$$ \ begin {aligned} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ balra (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ jobbra) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ balra (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ jobbra) \\ & = \ frac {1} {4} \ balra [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ jobbra] \\ \ vége {igazítva} $$

Innen kell tudni. Megjegyezzük, hogy a négyzetes esetet ugyanúgy lehetett volna kezelni.

Ezt a technikát széles körben használom a következő képletekhez:

• Pontos azonnali frekvencia képletek közelében a legjobb a csúcson (1. rész)
• Pontos azonnali frekvencia képletek közelében a legjobb a csúcson (2. rész)
• Pontos a pillanatnyi frekvencia képletei a legjobbak a nulladik kereszteződéseknél

Megjegyzések

• Kérjük, szíveskedjen frissítse válaszának 2. utolsó sorát. Alapvető időszak, ami 0,25, nem alapvető gyakoriság
• @Man Done, jó fogás. Sajnálom.
• Kérjük, frissítse a válaszát egy kicsit, hogy megfeleljen a frissített kérdés szükségességének.
• @Man Hagyja abba a célbejegyzések áthelyezését. n = 3,4,5 … a minta alapján kiszámítható. a végeredmény $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, amely megegyezik a $ T = 1 / (2n) $

Ez inkább szemantikai problémának tűnik.

A jel periodikus, idő $ T $ , ha

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Tehát a jel periodikus a $ 0,5 $ mivel a $ T = 0,5 \ cdot n $ esetében a koszinusz argumentuma a $ 2 \ pi $ . Mivel ez időszakos a $ 0,5 $ -ban, ez a periodikus a $ 0,5 $ összes egész számának többszörösében is, azaz $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ stb.

Ebben az esetben periodikusan szerepel a 0,25 $ $ -ban is, mivel $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Tehát minden periodikus jelnek van végtelen számú periódus, az alapvető a legkisebb, az összes többi pedig az egész egész sokszorosa.

Ha ez segít, generáljon egységnyi amplitúdójú szinuszhullámot 1 Hz-en és annak négyzetén:

Ekkor a szinuszhullám és annak négyzete így néz ki:

Láthatja a DC komponenst: a négyzet alakú szinuszhullám átlagolt értéke (egész periódusokra átlagolva) 1/2. A vörös szinuszhullám frekvenciája pedig pontosan megduplázódik, így a periódus felére csökken. Az egyenáram és a megduplázott frekvencia az “ütemfrekvencia”, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk a szinuszhullámot önmagával.

Megjegyzések

• milyen szoftvert használ?
• Az Extend (régebbi verzió) nevű kereskedelmi szimulációs programot használom, és Az ExtendSim (újabb verziók) az Imagine That, Inc.-től. Ezeket négy blokkkönyvtár egészíti ki, amelyeket 1990-ben kezdtem fejleszteni. A LightStone nevű könyvtáram ingyenesen elérhető, teljes kommentált forráskóddal. A könyvtárak URL-je umass.box.com/v/LightStone . A hét végére frissítem a könyvtárakat, hogy azok a legújabb ExtendSim 10.0.6 verzióval működjenek (csak újrafordításnak kell lennie). A fenti modellt a 6.0.8 kiterjesztéssel készítettük egy régi Mac-en (tetszik a kinézete).
• Köszönöm, megnézem: ' )