Secondo il modello di Sommerfeld, gli elettroni a livello di Fermi hanno la relazione
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ with $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Ma a quanto pare, lenergia di Fermi calcolata è superiore al valore sperimentale per molti metalli. La teoria delle bande energetiche spiegava questo sostituendo $ m_e $ con $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Ora, se voglio calcolare la velocità degli elettroni a livello di Fermi, devo sostituire $ m_e $ con $ m ^ * $? Sembra di sì, ma alcune fonti (non così affidabili) hanno suggerito diversamente. Cè qualche relazione sottostante che si è annullata e fa sì che gli elettroni a livello di Fermi si comportino come un elettrone nudo?
Grazie!
Risposta
Tieni presente che il modello di Sommerfeld generalizza semplicemente la teoria dei metalli di Drude tenendo conto del fatto che gli elettroni sono fermioni, quindi lesclusione di Pauli diventa un fattore molto importante. Nel modello di Sommerfeld, non esiste una massa effettiva di cui parlare, in quanto si ignorano sostanzialmente gli atomi (nuclei) nel sistema e si considera il movimento libero fermioni . Quindi, la tua velocità di Fermi è semplicemente data da: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Con modelli più avanzati, come la catena di legatura tesa, si inizia a prendere tenendo conto dellambiente periodico dellelettrone, vale a dire il potenziale di Coulomb periodico $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (preso ora nella $ \ mathcal {H} $ del sistema) e con alcune approssimazioni istruite viene utilizzato un approccio LCAO (combinazione lineare di orbitali atomici) per risolvere lequazione di Schrödinger. Come già sembra sapere, questo risultato è la famosa struttura a bande degli elettroni nei solidi, dove compare un gap energetico tra le bande di valenza e di conduzione (semiconduttori, isolanti). Ogni volta che la parte inferiore della banda (min della banda cond. O max della banda di valenza) può essere approssimata da una parabola, allora la dispersione può essere scritta come una parte costante più un termine quadratico: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ con questa approssimazione lelettrone nella stretta catena legante degli atomi può essere descritto come in movimento libero se si usa la massa effettiva associata $ m ^ * $. Nota che il termine $ cte $ è in effetti $ E_c $ o $ E_v $ (solo le energie della banda che descrivono il divario).
Per riassumere, se stai parlando di un elettrone libero nel modello della struttura a bande, allora la massa effettiva deve essere usato. Per più intuizione, se hai visto alcune delle derivazioni, potresti aver notato lelemento della matrice saltellante $ t $ che salta fuori quando risolvendo per gli autovalori di energia, è in effetti il salto forza (probabilità che lelettrone salti tra gli atomi della catena, nel modello di legame stretto) che definisce quanto sia diversa la massa effettiva $ m ^ * $ dellelettrone dalla sua massa a riposo $ m_e. $ Nella maggior parte dei casi ” è semplicemente inversamente proporzionale $ m ^ * \ propto 1 / t, $ più grande è $ t $, più leggeri saranno gli elettroni.