Determina $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Capisco come creare una scatola da [-1,1] di ampiezza 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
la soluzione che vedo dice che $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Non capisco dove sia venuto $ \ sin $ da e a cui sono correlati i valori di 2s. Ho visto delle prove, ma qualcuno può fornire una semplice spiegazione di cosa sono le variabili. Grazie
Risposta
Una funzione triangolare può essere generata convolgendo due funzioni box come mostrato di seguito.
Da qui deriva il passaggio 2.
La trasformata di Fourier di una convoluzione $ g (t) \ ast g (t) $ può essere calcolato moltiplicando la trasformata di Fourier di $ g (t) $ con se stesso, cioè $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Ricordiamo che la trasformata di Fourier di a la funzione box è una funzione Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Quindi, $ G (w) $ è una versione in scala di una funzione sinc e la trasformata di Fourier della funzione triangolare è $ G (w) ^ 2 $.
Risposta
OK, quindi capisci che il segnale $ x (t) $ è dato dalla convoluzione di due funzioni rettangolari che si estende da $ -1 $ a $ 1 $ con unaltezza di $ 1/2 $. Lunica cosa che resta da fare è determinare la trasformata di Fourier di questa funzione rettangolare. Puoi farlo molto facilmente applicando la definizione della trasformata di Fourier:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Sono sicuro che puoi risolvere questo integrale da solo. la funzione seno entra in gioco perché
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Infine, la trasformata di Fourier di $ x (t) $ è data da
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Risposta
Le funzioni di base nella trasformata di Fourier sono seno e coseno. Non dovresti essere davvero sorpreso che la funzione Sin sia apparsa nella tua analisi di un segnale complesso.