有限要素法と有限体積法の概念的な違いは何ですか？

有限要素：体積積分、内部多項式次数

古典的な有限要素法の仮定e連続または弱連続近似空間で、弱形式の体積積分が満たされるように要求します。要素内の近似次数を上げることにより、精度の次数が増加します。この方法は厳密には保守的ではないため、不連続プロセスの安定性に苦労することがよくあります。

有限体積：面積分、不連続データからの流束、再構成順序

有限体積法は区分的に一定の近似を使用しますスペースを空けて、区分的に一定のテスト関数に対する積分を求めます。これにより、正確な保存ステートメントが生成されます。体積積分は面積分に変換され、物理学全体はそれらの面積分の流束に関して指定されます。一次双曲線問題の場合、これはリーマン解です。二次/楕円フラックスはより微妙です。隣接要素を使用して要素内の状態の高次表現を（保守的に）再構築する（勾配の再構築/制限）か、フラックスを再構築する（フラックスの制限）ことにより、精度の次数が向上します。再構成プロセスは通常、ソリューションの不連続な特徴の周りの振動を制御するために非線形です。全変動減少（TVD）および本質的に非振動（ENO / WENO）の方法を参照してください。非線形離散化は、滑らかな領域で1次よりも高い精度と、不連続性全体の有界全変動の両方を同時に取得するために必要です。ゴドゥノフの定理を参照してください。

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FEとFVはどちらも、非構造格子で最大2次の精度を簡単に定義できます。FEは非構造格子で2次を超えることが容易です。FVは、不適合メッシュをより簡単かつ堅牢に処理します。 。

FEとFVの組み合わせ

メソッドは複数の方法で組み合わせることができます。不連続Galerkinメソッドは、不連続な有界関数を使用する有限要素メソッドであるため、リーマンソルバーを取得し、不連続に対するロバスト性を高めます。プロセス（特に双曲線）。DGメソッドは非線形リミッター（通常は精度がいくらか低下します）で使用できますが、セルごとのエントロピーの不等式を制限なしで満たすため、他のスキームでリミッターが必要な問題を制限せずに使用できます。（これはespeciです離散随伴が連続随伴方程式をより代表するようになるため、随伴ベースの最適化に非常に役立ちます。）楕円型問題の混合FE法は、不連続基底関数を使用し、直交関数をいくつか選択した後、標準の有限体積法として再解釈できます。この回答をご覧ください。再構成DG法（別名$ P_N P_M $または “Recovery DG”）は、FVのような保守的な再構成と内部順序の強化の両方を使用するため、FV法とDG法のスーパーセットです。

FEMとFVMの概念的な違いは、木と松の違いと同じくらい微妙です。

特定のFEMスキームを比較した場合特定の問題に適用されるFVM離散化については、さまざまな実装アプローチとさまざまな近似プロパティで明らかになる基本的な違いについて話すことができます（@Jed Brownが彼の回答で示したように）。

しかし、一般的に、FVMはFEMの特殊なケースであり、セルのグリッドと区分的に一定のテスト関数を使用します。この関係は、Grossmann、Roos & Stynes： 偏微分方程式の数値的扱い 。

基本的な違いは単に意味です結果に添付されます。 FDMは、ソリューションのあらゆる側面のポイント値を予測します。これらの値の間の補間は、多くの場合、ユーザーの想像力に任されています。 FVMは、特定のコントロールボリューム内の保存された変数の平均を予測します。したがって、統合された保存変数を予測し、弱い（不連続な）解に収束することを示すことができます。 FEMは離散値のセットを提供し、そこから基底関数のセットを呼び出すことにより、どこでも近似解を明確に推定できます。必ずしもそうとは限りませんが、通常、関係する変数は保守的です。特定の直交規則に従って、ある意味で保守的な有限差分法を使用することができます。

これらは定義の問題です。 3つの方法すべてに多くのバリエーションがあります。すべての方法が1つのタイプであるとは限らず、詳細はアプリケーション領域によって異なります。新しい方法を発明する研究者は、彼らが探している特性を提供するのに役立つそれらのツールを採用しています。ご存知のように、権威ある議論を見つけるのは難しく、私がそれを提供するのは難しいでしょう。私ができる最善のアドバイスは、完全に明確な答えを期待せずに読み続けることですが、あなたにとって意味のあることに信憑性を与えることです。