Bestem $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Jeg forstår hvordan jeg lager en boks fra [-1,1] med amplitude 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
løsningen jeg ser sier at $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Jeg forstår ikke hvor $ \ sin $ kom fra og at verdiene til 2-tallet korrelerer med. Jeg har sett bevis, men kan noen gi en enkel forklaring på hva variablene er. Takk
Svar
En trekantet funksjon kan genereres ved å omfatte to boksfunksjoner som vist nedenfor.
Dette er hvor trinn 2 kommer fra.
Fourier-transformasjonen av en konvolusjon $ g (t) \ ast g (t) $ kan beregnes ved å multiplisere fourier-transformasjonen av $ g (t) $ med seg selv, dvs. $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Husk at Fourier-transformasjonen av en boksefunksjon er en sinkfunksjon ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Derfor er $ G (w) $ en skalert versjon av en sinc-funksjon, og Fourier-transformasjonen av den trekantede funksjonen er $ G (w) ^ 2 $.
Svar
OK, så du forstår at signalet $ x (t) $ er gitt av sammenvikelsen av to rektangulære funksjoner strekker seg fra $ -1 $ til $ 1 $ med en høyde på $ 1/2 $. Det eneste som er igjen å gjøre er å bestemme Fourier-transformasjonen av denne rektangulære funksjonen. Du kan gjøre dette veldig enkelt ved å bruke definisjonen av Fourier-transformasjonen:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Jeg er sikker på at du kan løse denne integralen selv. sinusfunksjon spiller inn fordi
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Endelig er Fourier-transformasjonen av $ x (t) $ gitt av
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Svar
Basisfunksjonene i Fourier Transform er Sine og Cosine. Du burde ikke bli overrasket over at Sin-funksjonen dukket opp i analysen av et komplekst signal.