Bepaal $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: ik begrijp hoe ik een box kan maken van [-1,1] met amplitude 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
de oplossing die ik zie, zegt dat $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Ik begrijp niet waar $ \ sin $ vandaan kwam waaruit en dat de waarden van de 2en correleren met. Ik heb bewijzen gezien, maar kan iemand een eenvoudige uitleg geven van wat de variabelen zijn. Bedankt
Antwoord
Een driehoekige functie kan worden gegenereerd door twee boxfuncties samen te voegen, zoals hieronder getoond.
Dit is waar uw stap 2 vandaan komt.
De fourier-transformatie van een convolutie $ g (t) \ ast g (t) $ kan worden berekend door de fourier-transformatie van $ g (t) $ te vermenigvuldigen met zichzelf, dwz $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Bedenk dat de Fourier-transformatie van een box-functie is een Sinc-functie ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Daarom is $ G (w) $ een geschaalde versie van een sinc-functie, en de Fourier-transformatie van de driehoekige functie is $ G (w) ^ 2 $.
Antwoord
OK, dus je begrijpt dat het signaal $ x (t) $ wordt gegeven door de convolutie van twee rechthoekige functies zich uitstrekt van $ -1 $ tot $ 1 $ met een hoogte van $ 1/2 $. Het enige dat u hoeft te doen, is de Fourier-transformatie van deze rechthoekige functie bepalen. U kunt dit heel gemakkelijk doen door de definitie van de Fourier-transformatie toe te passen:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Ik weet zeker dat je deze integraal zelf kunt oplossen. sine-functie komt in het spel omdat
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Ten slotte wordt de Fourier-transformatie van $ x (t) $ gegeven door
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Answer
De basisfuncties in Fourier-transformatie zijn sinus en cosinus. Je moet niet echt verbaasd zijn dat de Sin-functie verscheen in je analyse van een complex signaal.