Istnieje oczywista różnica między różnicą skończoną a metodą objętości skończonej (przejście od punktowej definicji równań do całkowitych średnich dla komórek). Ale uważam, że FEM i FVM są bardzo podobne; oba używają postaci całkowej i średniej w komórkach.
Co robi metoda MES, a nie FVM? Przeczytałem trochę informacji na temat MES Rozumiem, że równania są zapisane w słabej formie, co daje metodzie nieco inny punkt stwierdzenia niż FVM. Jednak nie rozumiem na poziomie koncepcyjnym, jakie są różnice. Czy MES przyjmuje jakieś założenie dotyczące tego, jak nieznane zmienia się w komórce, czy nie można tego również zrobić z FVM?
Jestem głównie z perspektywy 1D, więc może MES ma zalety w więcej niż jednym wymiarze?
Nie znalazłem zbyt wielu informacji na ten temat w sieci. Wikipedia ma sekcję o tym, czym MES różni się od różnicy skończonej ale to wszystko, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .
Komentarze
- Oto moje podejście do problemu (pod koniec): math.colostate.edu/~bangerth/videos.676.31.html
- Szczegółowo napisałem to na moim blogu Różnica między FEM, FVM i FDM
Odpowiedź
Element skończony: całki objętościowe, wewnętrzny porządek wielomianów
Założenie klasycznych metod elementów skończonych Ciągłe lub słabo ciągłe przestrzenie aproksymacyjne i poproś o spełnienie całek wolumetrycznych postaci słabej. Kolejność dokładności zwiększa się poprzez podniesienie porządku aproksymacji w elementach. Metody nie są dokładnie konserwatywne, dlatego często zmagają się ze stabilnością dla procesów nieciągłych.
Objętość skończona: całki powierzchniowe, strumienie z nieciągłych danych, porządek rekonstrukcji
Metody objętości skończonych używają ciągłego przybliżenia odcinkowego spacje i poproś o spełnienie całek względem stałych odcinkowych funkcji testowych. Daje to dokładne stwierdzenia dotyczące ochrony. Całka objętości jest konwertowana na całkę powierzchniową, a cała fizyka jest określona w kategoriach strumieni w tych całkach powierzchniowych. W przypadku problemów hiperbolicznych pierwszego rzędu jest to rozwiązanie Riemanna. Strumienie drugiego rzędu / eliptyczne są bardziej subtelne. Porządek dokładności jest zwiększany przez wykorzystanie sąsiadów do (zachowawczo) rekonstrukcji reprezentacji wyższego rzędu stanu wewnątrz elementów (rekonstrukcja / ograniczanie nachylenia) lub przez rekonstrukcję strumieni (ograniczenie strumienia). Proces rekonstrukcji jest zwykle nieliniowy, aby kontrolować oscylacje wokół nieciągłych cech rozwiązania, patrz metody całkowitego zmniejszania zmienności (TVD) i zasadniczo nieoscylacyjne (ENO / WENO). Nieliniowa dyskretyzacja jest konieczna, aby jednocześnie uzyskać zarówno dokładność wyższą od pierwszego rzędu w gładkich obszarach, jak i ograniczoną całkowitą zmienność w nieciągłościach, patrz twierdzenie Godunowa .
Komentarze
Zarówno FE, jak i FV są łatwe do zdefiniowania do dokładności drugiego rzędu na siatkach niestrukturalnych. FE jest łatwiejsze do wykrycia poza drugiego rzędu na siatkach nieustrukturyzowanych. FV obsługuje siatki niezgodne z wymaganiami łatwiej i solidniej .
Łączenie FE i FV
Metody można łączyć na wiele sposobów. Nieciągłe metody Galerkina to metody elementów skończonych, które wykorzystują nieciągłe funkcje bazowe, uzyskując w ten sposób solwery Riemanna i większą odporność na nieciągłe (zwłaszcza hiperboliczne). Metody DG mogą być stosowane z nieliniowymi ogranicznikami (zwykle z pewną redukcją dokładności), ale spełniają warunkową nierówność entropii bez ograniczeń, a zatem mogą być stosowane bez ograniczeń w przypadku niektórych problemów, w których inne schematy wymagają ograniczników. To jest especi jest przydatny w optymalizacji sprzężonej, ponieważ sprawia, że dyskretne sprzężenie jest bardziej reprezentatywne dla ciągłych równań sprzężonych.) Mieszane metody MES dla problemów eliptycznych wykorzystują nieciągłe funkcje bazowe i po dokonaniu pewnych wyborów kwadratury można je ponownie zinterpretować jako standardowe metody objętości skończonych, patrz div id = „305c5bda42″>
ta odpowiedź , aby uzyskać więcej informacji. Metody Reconstruction DG (aka. $ P_N P_M $ lub „Recovery DG”) wykorzystują zarówno konserwatywną rekonstrukcję typu FV, jak i wzbogacanie porządku wewnętrznego, a zatem stanowią nadzbiór metod FV i DG.
Odpowiedź
Koncepcyjne różnice MES i FVM są tak subtelne, jak różnice między drzewem a sosną.
Jeśli porównasz pewien schemat MES Jeśli chodzi o dyskretyzację FVM zastosowaną do konkretnego problemu, można mówić o fundamentalnych różnicach, które stają się oczywiste w różnych podejściach do implementacji i różnych właściwościach aproksymacji (jak wyjaśnił @Jed Brown w swojej odpowiedzi).
Generalnie powiedziałbym, że FVM jest specjalnym przypadkiem MES, wykorzystującym siatkę komórek i częściowe stałe funkcje testowe. Relacja ta jest również używana do analizy zbieżności FVM, ponieważ można ją znaleźć w książce Grossmanna, Roos & Stynes: Numeryczne traktowanie równań różniczkowych cząstkowych .
Odpowiedź
Podstawowa różnica to po prostu znaczenie dołączone do wyników. FDM przewiduje wartości punktowe dowolnego aspektu rozwiązania. Interpolacja między tymi wartościami jest często pozostawiana wyobraźni użytkownika. FVM przewiduje średnie zachowanych zmiennych w określonych objętościach kontrolnych. W związku z tym przewiduje zintegrowane konserwowane zmienne i można wykazać, że zbiegają się do słabych (nieciągłych) rozwiązań. MES daje zbiór dyskretnych wartości, z których można wywnioskować przybliżone rozwiązanie jednoznacznie wszędzie, wywołując zbiór funkcji bazowych. Zwykle, ale niekoniecznie, zmienne, których to dotyczy, są konserwatywne. Możliwe są metody różnic skończonych, które są w pewnym sensie konserwatywne, zgodnie z określoną regułą kwadratury.
To są kwestie definicji. Istnieje wiele odmian wszystkich trzech metod. Nie każda metoda jest czysto jednego typu, a szczegóły różnią się w zależności od obszaru zastosowania. Badacze wymyślający nową metodę wykorzystują narzędzia, które pomogą zapewnić poszukiwane przez nich właściwości. Wydaje się, że trudno jest znaleźć autorytatywną dyskusję i trudno byłoby mi ją przeprowadzić. Najlepszą radą, jaką mogę dać, jest kontynuowanie czytania, nie oczekując całkowicie jasnej odpowiedzi, ale dając wiarę rzeczom, które mają dla ciebie sens.